热力学统计物理(A参考答案)

宝鸡文理学院试题
课程名称中学物理教育理论
适用时间2011年7月与实践研究
试卷类别 A 适用专业、年级、班专升本
一. 填空题（本题共7 题，每空3 分，总共21 分）
1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：，则该物质的物态方程为：。

2. 1 mol 理想气体，保持在室温下（K）等温压缩，其压强从1 准静态变为10 ，则气体在该过程所放出的热量为：焦耳。

3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（K）在完成一次计算后，产生的热量是：焦耳。

4. 已知巨热力学势的定义为，这里是系统的自由能，是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：。

5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为，其中是常数，则粒子的平均能量为：。

6. 温度时，粒子热运动的热波长可以估算为：。

7. 正则分布给出了具有确定的粒子数、体积、温度的系统的分布函数。

假设系统的配分函数为，微观状态的能量为，则处在微观状态上的概率为：。

二. 简答题(本题共 3 题，总共30 分)
1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。

(10分)
2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。

(10分)
3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。

(10分)
三. 计算题(本题共 4 题，总共49 分)
1. 一均匀杆的长度为L，单位长度的定压热容量为，在初态时左端温度为T1，右端温度为T2，T1 < T2，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。

（你可能要用到的积分公式为）(10分)
2. 设一物质的物态方程具有以下形式：，试证明其内能和体积无关。

(10分)
3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。

请用经典统计理论计算：
（1）二维气体分子的速度分布和速率分布。

(9分)
（2）二维气体分子的最概然速率。

(4分)
4. （1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：
这里，是面积。

这个结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是成立的。

（8分）（2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为，试求: 0 K 时电子气体的费米能量、内能和简并压强。

(8分)
热力学. 统计物理（A 卷）答案
一. 填空题（本题共 7 题，每空 3 分，总共 21 分） 1.
const =T pV 2.
31074.510ln ⨯=RT 3.
-211087.22ln ⨯=kT 4.
μNd pdV SdT dJ ---= 5.
kT 2 6. mkT
h kT m h 22==λπλ或者 7. Z e kT
E s S -=ρ
二. 简答题(本题共 3 题，总共 30 分)
1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。

(10分)
答：（1）热力学中研究的热平衡辐射系统，是一个和腔壁达到热力学平衡的系统，热力学理论可以证明，它的吉布斯函数为零。

……………………（2分）
（2）从微观角度看，平衡辐射场可以认为是光子气体，每一个单色平面波对应于一个能量和动量确定的光子，腔壁中的辐射场对应于能量和动量从零到无穷大连续取值的光子气体。

辐射场和腔壁不断发生热交换，从微观角度来看，相当于交换光子，因此，腔壁中的光子数不守恒。

（2分）
（3）光子是玻色子，满足玻色分布。

在确定玻色分布公式的时候，由于光子数不守恒，因此确定第一个拉氏乘子α的条件不存在，从物理上理解，这个拉氏乘子α就应该为零，因为kT μα-
=，故化学
势为零。

………………（4分）
（4）化学势即为摩尔吉布斯函数（或者单个光子的吉布斯函数），光子气体的吉布斯函数等于摩尔数（或者平均分子数）乘上化学势，因此光子气体的吉布斯函数为零。

…………………（2分）
2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。

(10分)
答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。

物理上，需要在给定的分布下，确定系统的微观状态。

…………………………………（3分）
（2）玻耳兹曼系统是这样的一个系统，它的各个粒子是可以分辨的，因此，要确定玻耳兹曼的微观状态，就需要确定每一个粒子的微观状态，给出玻耳兹曼系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数，但是这些粒子是哪一些粒子并没有确定。

…………………………………（3分）
（3）由于等概率原理，在给定的宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。

不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。

玻耳兹曼系统的最概然分布就是玻耳兹曼分布。

……………………………（4分）
3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。

(10分)
答：（1）作为热运动的宏观理论，热力学讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征，例如对于一个孤立系统，可以用粒子数N 、体积V 和能量E 来表征系统的平衡态，状态参量给定之后，处于平衡态的系统的所有宏观物理量都具有确定值。

…………………………………………（2分）
（2）系统的微观状态是指构成系统的每一个粒子的力学运动状态，显然，在确定的宏观状态之下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生及其复杂的变化，例如，对于一个没有相互作用的系统中，总能量是由N 个单粒子能量的简单求和得到的，因此，将会有大量不同的方式选择个别粒子的能量使其总和等于总能量。

………（2分）
（3）等概率原理认为：在任意时刻，该系统处于各个微观态中的任意一个状态都是同等可能的，也就是概率是一样的。

对于一个孤立系统，数学表述就是：设所有可能的微观状态的数目Ω是粒子数N 、体积V 和能量E 的函数：),,(E V N Ω=Ω，则每一个微观状态的概率为Ω1。

……（3分）
（4）统计物理认为，宏观物理量是相应的微观物理量的系综平均值，要求系综平均值，就必须知道系统在各个微观状态出现的概率。

等概率原理给出了孤立系统的各个微观状态出现的概率，因此，只要知道总的微观状态数，就可以计算各种宏观物理量。

这样，等概率原理在连接宏观物理量和相对应的微观物理量之间建立了一个可以计算的桥梁。

当然，实际上，对给定的孤立系统，计算总的微观状态数一般是很困难的，但是它是分析其他问题（如分析正则分布和巨正则分布）的基础，等概率原理也称为微正则分。

……………………………………（3分）
三. 计算题(本题共 4 题，总共 49 分)
1. 一均匀杆的长度为 L ，单位长度的定压热容量为p c ，在初态时左端温度为 1T ，右端温度为 2T ， 21T T <，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。

（你可能要用到的积分公式为()⎰⎰
-⋅=⋅x x x d dx x ln ln 。

）(10分) 答：设杆的初始状态是左端 0=l 温度为 1T ，右端 L l =为 2T ，从左到右端，位于 l 到dl l +的初始温度为l L T T T T 121-+=，达到平衡后温度为2
12T T -，这一小段的熵增加值为： 122111222112ln T T p p T T T l L T T dT dS c dl c dl T T T T l L
+-++==⋅-+⎰………………………………（4分） 根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为
12
122110002112ln ln ln 2L L L p p p T T T T T T S dS c dl c dl c dl T l T T L T l L
++-⎛⎫∆==⋅=⋅-⋅+ ⎪-⎝⎭+⎰⎰⎰⎰ ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅--⋅-+⋅=L p p l L T T T l L T T d L
T T c T T L c 0121121221ln )(12ln ⎰⋅-⋅-+⋅=21ln 12
ln 1221T T p p x dx L
T T c T T L c
()1211221
221ln ln 12ln T T T T T T T T L c T T L c p p +---⋅-+⋅=……………（6分） 2. 设一物质的物态方程具有以下形式：T V f p )(=，试证明其内能和体积无关。

(10分) 证明：以),(T V 作为自变量，则熵的全微分为：
dV V S dT T S dS T
V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=………………………………（3分） 利用热力学基本微分方程，有：
dV p V S T dT T S T pdV dV V S T dT T S T pdV
TdS dU T V T V ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-= 因此有： p V S T V U T
T -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂………………………………（3分） 由麦氏关系代入上式，可以得到： p T p T V U V
T -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 利用物态方程可以知：)(V f T p V
=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 故有：
0)(=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂p V Tf p T p T V U V
T …………………………（4分）得证。

3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。

请用经典统计理论计算：
（1）二维气体分子的速度分布和速率分布。

(9分)
（2）二维气体分子的最概然速率。

(4分)
答：玻耳兹曼分布的经典表达式是
r
l l h e a 01ωβεα∆=--…………………………………………（2分） 在没有外场时，二维情况下的分子质心运动能量的经典表达式为
)(212222y x p p m
m p +==ε 在面积A 内，分子质心平动动量在y x dp dp 范围内的状态数为
y x dp dp h A 20
因此，在面积A 内，分子质心平动动量在y x dp dp 范围内的分子数为
y x p p mkT dp dp e h A y x )(21
202
2+--α 参数由总分子数为N 的条件定出
N dp dp e h A y x p p mkT y x =⎰⎰+--)(21
202
2α 积分出，得
2021h A
N mkT e πα=- 因此，质心动量在y x dp dp 范围内的分子数为 y x p p mkT dp dp e mkT
N y x )(212221+-π 用速度作为变量，y y x x mv p mv p ==;，上式化为：
y x v v kT m dv dv e kT
m N y x )(22
22+-π 这就是在面积A 内，分子在y x dv dv 范围内的分子数。

用A N n =表示单位面积内的分子数，则在单位面积内，速度在y x dv dv 范围内的分子数为
y x v v kT m
y x y x dv dv e kT m n dv dv v v f y x )(22
22),(+-=π…………………………（5分） 这就是二维情况下的速度分布律。

归一化条件为：
n dv dv e kT m n dv dv v v f y x v v kT m
y x y x y x ==⎰⎰⎰⎰+-)(22
22),(π 化为极坐标，并对角度进行积分，可得二维情况下的速率分布律
vdv e kT
m n dv v f v kT m
2
2)(-=…………………………………（2分） 最概然速率m v 满足条件： 0)()(2
2==-v e dv
d kT m n dv v df v kT m
由此得到： m
kT v m =……………………………………………（4分） 在这个速率附近，分子数最多。

4.（1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：
A
U p = 这里，A 是面积。

这个结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是成立的。

（8分）
（2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为A N
n =，试求 0 K 时电
子气体的费米能量、内能和简并压强。

(8分) 答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为L ，根据周期性边界条件，二维自由粒子在x 和y 方向的动量分量的可能取值为：
Λ,2,1,0;±±==x x x n n L
h p Λ,2,1,0;±±==y y y n n L
h p
因此对于非相对论的自由粒子，能量为：
12222222)(21)()(212-=+=+==aA n n A
h m n n L h m m p y x y x n n y x ε 以单一指标l 代替),(y x n n ，上式可以记为： 1-=aA l ε 因此当有N 个粒子存在时，产生的压强为：
A U a A a aA a A p l l
l l l l l l ∑∑∑==--=∂∂-=--εε12)1(…………………（8分） （2）在面积2L A =内，在dp p p +-内，自由粒子的量子态的数目为： pdp h
L π2)(2 由于电子自旋为21，因此利用自由粒子的非相对论能量动量关系m
p 22=ε，得到在εεεd +-内，自由电子的量子态的数目为：
επεπd h
Am md h A 22422
= 根据费米分布，一个量子态上的平均电子数为：
1
1+=+βεαe f 在面积A 内，在εεεd +-内，自由电子的数目为： επεπμεβεαd e h Am d e h Am dN kT 1
14114)(22+=+=
-+ 在K 0=T 时，对上式积分，可以确定费米能量（零温时的化学势）：
⎰=≡⇒=)0(02
24)0(4μπμεεπn m h d h Am N F ……………（4分） 面积A 内，在εεεd +-内，自由电子的能量为：
εεπμεd e h Am dU kT 1
14)(2+=
- 在K 0=T 时，对上式积分，得到自由电子的内能为：
)0(214)0()0(02μεεπμN d h Am U ==⎰………………………………（2分） 在K 0=T 时的简并压强为：
)0(21)0(μn A U p ==………………………………………（2分）。