概率论 3条件概率和乘法法则

P A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 19 18 17 0.265 29 28 27
某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活 到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动 物活到25岁的概率。 解：设A表示“这种动物活到20岁以上”，B表示 “这种动物活到25岁以上”，则 P(A)=0.7，P(B)=0.56，且
AB 2 P( A | B) B 3
( A )
A
( AB )
AB
(B )
B

( n)
条件概率 Conditional Probability
定义:设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机 事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P ( AB ) P( A B) P( B)
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率。
条件概率 Conditional Probability
抛掷一颗骰子,观察出现的点数
A={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
B={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。 即事件B已发生，求事件A的概率P(A|B)。
A、B都发生，但样本空间 缩小到只包含Ｂ的样本点。
条件概率 P(A|B)的样本空间

B
A
B
A
Sample space
Reduced sample space given event B
P( AB)
P( A | B)
例
设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
B A
P( AB) P( B) 0.56 P( B | A) 0.8 P( A) P( A) 0.7
作业：
习题一：15，18，19，20
Hale Waihona Puke B1 =“第一个是男孩”3 于是得 PB 4 1 PB1 2
B1 ={(男, 男) , (男 , 女) }
P( AB) P( A) 1 4 1 P( A | B) P( B) P( B) 3 4 3 1 PB1 A P A 4
乘法法则
P ( AB ) P ( A) P ( B A) P( B) P( A B)
例 考虑恰有两个小孩的家庭。若已知某一家有男孩， 求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩， 求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率。 （假定生男生女为等可能） 解 Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) }
设 Ｂ= “有男孩” ， 则 Ｂ={(男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) } Ａ= “有两个男孩” ， Ａ={(男, 男) }
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
P( AB) 70 100 0.7368 P( A B) 95 100 P( B)
推广
P( AB) P( B A) P( A) P( AB) P( A B) P( B)
P( ABC ) P( A) P( B A) P(C | AB)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
96% 45% 43.2%
在一个化妆舞会上，有 20 个男同学，10 个 女同学，试问：其中男同学GG请的第三个 舞伴还不是女同学的概率。
解：“请的第三个舞伴还不是女同学”相当于“第一、第二、 第三次请的都是男同学”。 设 Ai 表示“第i 次请的是男同学”。 则所求事件的概率是：
凡事不过三
一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概 率． 设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取 解 出的产品是合格品， 则
P( A | B) 45%
于是 所以
P( B ) 4%
P( B) 1 P( B ) 96%
P( A) P( AB) P( B) P( A | B)