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• 紧集（compact set） 我们有一个Bolzano-Weierstrass定理：有界的序列必存在一个子序列，这个 子序列收敛。这个定理对于C如何改进呢？我们先定义覆盖的概念： 覆盖(open cover)：有一些（可以是无限个）开集Uα, α = 1, 2, 3 . . . ，如果一个集合K满足K ⊂ α Uα，我们就称Uα是K的一个开覆盖，简称覆盖。
Theorem 2.4. 设f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D上解析，z0 = x0 + iy0 ∈ D，则|f (z0)|2是映射(x, y) → (u(x, y), v(x, y))在(x0, y0)处的Jacobi行列式。
Proof: 由Jacobi行列式的定义， 由C-R方程，得
复变函数笔记
李嘉轩
1 复数与复数域上的拓扑
• 关于开集和闭集： 1) 空集∅是开集也是闭集，C既是开集也是闭集。 2) 若干闭集的交集是闭集，若干闭集的并集是闭集。 3) 若干开集的交集是开集，若干开集的并集是开集。
• 设f : C → C是一个复变函数，那么下列命题等价： i. f 是连续函数。 ii. 闭集的原像是闭集。
复数运算习题
1. 证明：|Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|.
2. 证明三角不等式 ||z| − |z || ≤ |z + z | ≤ |z| + |z |. 提示：使用上题结论。
3. 证明Lagrange恒等式：
n
2
zkwk =
k=1
n
zk 2
k=1
n
wk 2
k=1
n
2
−
zkwj∗ − zj wk∗
Theorem 2.2. 设D是C中的单连通区域，则D上任意的调和函数u(x, y)必存在共轭调和函数v(x, y)，且v(x, y)可 以由u(x, y)唯一决定，只不过相差一个常数。 注意：这里D是C中的单连通区域的条件是必要的。如u(x, y) = ln(x2 + y2)，它是C\{0}上的调和函数， 但它没有共轭调和函数，因为lnz具有多值性。 注意：对于∀x0 ∈ D，总存在一个邻域D0 ⊂ D ，这个邻域是单连通的，也就一定有对应的共轭调和函 数v(x, y)。所以说调和函数局部总是一个解析函数的实部。
♣ Proposition 4：K ⊂ C，下列命题循环等价： i. K是有界闭区域。 ii. K中的任何一个序列（点构成的序列）都有收敛的子序列，且收敛在K中的点上。
iii. K是个紧集。
2
有几个例子很不错。如果K不是有界的，我们可以取一个序列，|z1| = 1, |z2| > |z1| + 1, . . . , |zn| > |zn−1| + 1，这个序列就没有收敛的子序列，而且我们不妨取覆盖为D(0; n), n = 1, 2, 3 . . . ，这个覆 盖也没有有限子覆盖。如果K不是个闭集，我们可以取序列z1, z2, . . . 收敛于点w ∈ \K，我们取覆 盖{z| |z − w| > 1/n, n = 1, 2, 3 . . . }，这个覆盖也没有有限子覆盖。
可以让z∗取一些简单的值，然后得到f (z)的表达式（具体见课本）。
复变函数导数的意义
对一个解析函数，它一定是可微的。所以在某一点x0极近的附近，有：|f (z) − f (z0)| = |f (z0)||z − z0|.解析函数把定义域内的一个小邻域（圆盘）{z||z − z0| < r}映成了复平面内的一个大圆盘{z||z − z0| < |f (z0)|r}。所以映射f (z)对应区域面积之比为|f (z0)|2，这肯定是这个函数的Jacobi行列式。（其实就是个 变换，联想二重积分中坐标变换也是个映射，而那里的面积比率也是变换的Jacobi行列式）
有时候，大量的覆盖有些浪费，我们可以精简一些，试图用少一点的面积去覆盖一个东西，引出子 覆盖： 子覆盖(subcover)：在覆盖Uα中挑选一个指标集A = α1, α2, . . . , αn，使得K ⊂ A Uαi，我们就 称UA 是K 的一个子覆盖。如果A是有限的，称为有限子覆盖。
紧集（compact set）：如果集合K的任意一个开覆盖都存在有限的子覆盖，那么K是紧集。也就是 说，如果找到一个覆盖，这个覆盖没有有限的子覆盖，那么这个集合肯定不是紧集。
练习：说明点集E
=
{iy
|
|y|
≤
1} ∪
{x
+
isin
1 x
|
0
<
x
≤
1}是连通但不道路连通的
Solution: 这就是表情“吓得我都震荡了”的那个图。只不过这里补充定义了x = 0时，取y轴的一段
作为点集的一部分。显然我们无法用两个不相交的开集把这个图分为两部分，所以E是连通的。但
是比如我们取点(0,
♣ Proposition 6：定义在紧集上的连续函数是一致连续的。
Proof: 设f 是定义在紧集K上的连续函数，设 > 0. 对于K上的每一点t，只要|s − t| < δ(t)，都 存在一个δ(t)使得|f (t) − f (s)| < /2. 而K的一个覆盖为D(t; δ(t)/2)，根据K的紧性，存在有限个 数t1, t2, . . . , tN ，使得Dk = D(tk; δ(tk)/2)覆盖了K。设δk = δ(tk)/2, δ = min{δ1, δ2, . . . , δN }. 如 果|s − t| < δ，那么t肯定在某个圆盘Dk中，所以|t − tk| < δk. 因此|f (t) − f (tk) < /2. 同时， |s − tk| = |s − t + t − tk| ≤ |s − t| + |t − tk| ≤ δ + δk ≤ δ(tk)，所以同样的有|f (s) − f (tk)| ≤ /2. |f (s) − f (t)| = |f (s) − f (tk) + f (tk) − f (t)| ≤ |f (s) − f (tk)| + |f (tk) − f (t)| < /2 + /2 = . 我们已 经对于一个δ证明了结论，所以f 在整个K上一致连续。
♣ Proposition 5：K是一个紧集，连续函数f 定义在K上，那么f (K)也是紧集。即f 把紧集映为紧 集。 ♣ 最值定理：K是一个紧集，连续函数f 定义在K上，则f 有界，并且|f |在K上达到最大最小值。（因 为f (K)是紧集，也就是有限闭区域）
• Cauchy序列： C is R2 with extra structure of complex multiplication. Cauchy序列：如果一个实序 列{xi}对于任意的 > 0，存在一个N，使得于有 |xn − xm| < ，其中n N 同时 m N ，我们称这 个序列为Cauchy序列。在实数域R上，每个Cauchy序列必收敛，这等价于实数域的完备性。 普通的连续性是针对一个点的领域而言的，是一个局部性质。如果函数f 在点x0处连续，则f 在x0附 近肯定是有界的。即使f 处处连续，但无法保证f 在整个区间有界（当然在闭区间上连续函数肯定是 有界的）。所以我们要发明一个全局性的连续概念，我们叫它一致连续。 一致连续（uniformly continuous）：函数f : A → C一致连续，如果∀ > 0, ∃δ > 0, s.t. |f (s) − f (t)| < f or ∀s, t ∈ A, and |s − t| < δ.一致连续是一个δ对区域里所有位置都适用，所以把连续性 提升为全局性质。
∂u ∂u ∂x ∂y
∂v ∂v ∂x ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v = ·−·
∂x ∂y ∂y ∂x
( ∂u )2 ∂x
+
( ∂v )2 ∂x
=
|f
(x0)|2
4
3 柯西定理Cauchy Theorem
3.1 路径积分Contour Integrals
Theorem 2.3 (Cauchy-Riemann Equation). 设f (z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y), v(x, y) ∈ C∞都定 义在区域D上，则f (z)在区域D上解析的充要条件是
∂f (z)
=0
(1)
∂z∗
这个定理说明了如果f (z)在区域D上解析，则它的表达式一定与z∗无关，也就是不显含z∗。因此我们
一个连通的集合不一定是道路连通的，但这句话对于开集是成立的。事实上，连通的开集中道路还 有性质。
♣ Proposition 2：一个连通的开集一定是道路连通的，且连接任意两个点的道路γ都是可微的。道 路γ可微的意思是γ的两个x分量函数与y分量函数都是可微的。 可见，连通的开集的性质是如此好。对于连通的开集，连通和道路连通画上了等号，而且道路还是 可微的。所以我们把连通的开集叫做区域(region).
1
♣ Proposition 3：如果f 是一个定义在连通集合C上的一个连续函数，那么像集f (C)也是连通的。 这说明了连续函数把连通的集合映为连通的集合。 至此，我们发现连续函数把连通的映为连通的；开集的原像是开集，闭集的原像是闭集。 注意： Proposition 3的逆命题不成立！一个连续函数的像是连通的，并不意味着定义域是连通的！
Lemma 2.1. 由于(x, y), (z, z∗)都是相互独立的量，所以偏导符号之间有一些关系：
∂ 1∂ ∂ ∂ 1∂ ∂ = ( − i ), = ( + i )
∂z 2 ∂x ∂y ∂z∗ 2 ∂x ∂y
因此对于Laplace算子有：
∇2 = 4 ∂2 ∂z∂z∗
用以上的一些结论可以得到：
iii. 开集的原像是开集。 • 一个集合A ⊂ C， A的一个子集B如果满足B = A ∩ U ，其中U是一个开集，那么称B是相对于A开
的；如果A的一个子集B满足B = A ∩ F ，其中F是一个闭集，那么称B是相对于A闭的。 • 道路连通与连通：
我们在直观上看C上的两个点集时，对于连通这个意思有两种理解。正面的理解是：“这个集合中的 任意两个点都可以被一条线给连起来”，反面的理解是：“这个集合不能被直观的看成两部分”。由 此我们有了如下概念： 道路连通(path-connected)：一个集合C中的任意两个点a, b之间可以用一条折线连接起来，且这条 折线的每个点都属于集合C。即对于集合C中的任意两个点a, b，有一个连续映射γ : [0, 1] → C, γ(0) = a, γ(1) = b. 对于另一个定义，一个集合C ⊂ C，若存在开集U, V 并满足下列条件，则称C连通(connected)的： 1) C ⊂ U ∪ V 2) C ∩ U = ∅ and C ∩ V = ∅ 3) U ∩ V = ∅ 即连通集C 不能用两个不相交非空开集将其一分为二。 ♣ Proposition 1：一个道路连通的集合（无论是开集还是闭集）一定是连通的。
k≤j
进而推出Cauchy不等式：
n
2
zkwk ≤
k=1
n
zk 2
k=1
提示：可以用数学归纳法进行证明，也可以直接展开。
n
wk 2
k=1
3
4. 利用Euler公式证明Lagrante三角恒等式：
1+
cos θ
+
cos 2θ
+
···
+
cos nθ
=
1 2
+来自百度文库
sin[(n
+
1 2
)θ]
2
sin
θ 2
2 解析函数
我们先列出几个定理。请自己给出证明。
Theorem 2.1. 设f (z)是区域D上的实值函数，则f (z)在D上解析的充分必要条件是f (z)在D上恒为常数。
Definition 1. 设u(x, y)是区域D上给定的一个调和函数，D上的调和函数v(x, y)如果与u(x, y)满足C-R方 程，则称v(x, y)是u(x, y)的共轭调和函数。这时f (z) = u(x, y) + iv(x, y)就是D上的解析函数。
1)和(x,
sin
1 x
),
∀x
=
0，我们无法用一个有限长度的、处处可微分的曲线将这两
点连起来，因为sin
1 x
在x
=
0处不连续。因此点集E不是道路连通的。
单连通：如果对于区域D中的任意简单闭曲线L，都存在D中的有界区域D，使得L = ∂D，则区 域D是单连通的。简单的例子是：圆环{z|r < |z| < R}就不是单连通的，因为没法找到一个圆环使得 一条闭曲线既是它内半径的边界又是它外半径的边界。