三角函数九类经典题型

三角函数九种经典类型题 类型一 同角三角函数关系式的应用

1、(1)已知tan θ＝2，则sin 2

θ＋sin θcos θ－2cos 2

θ＝________.

(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π

2，则cos α－sin α的值为________．

答案 (1)45 (2)3

2

解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2

θ＋sin θcos θ－2cos 2

θ ＝sin 2

θ＋sin θcos θ－2cos 2

θ

sin 2θ＋cos 2

θ ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θ

cos 2

θ－2sin 2

θ

cos 2

θ＋1 ＝tan 2

θ＋tan θ－2tan 2

θ＋1＝22

＋2－222＋1＝45. (2)∵5π4＜α＜3π2

，

∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.

又(cos α－sin α)2

＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，

∴cos α－sin α＝

32

. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2

α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α

＝tan

α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，

sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2

＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2

α＋cos 2

α，sin 2

α＝1－cos 2

α，cos

2

α＝1－sin 2α.

、已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 答案 －1

解析 由⎩⎨⎧

sin α－cos α＝2，sin 2

α＋cos 2α＝1，

消去sin α得：2cos 2

α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2

＝0，

∴cos α＝－

22

. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4

，

∴tan α＝tan 3π

4＝－1.

类型二 诱导公式的应用

1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________． 解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2

＝－sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.

思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．

②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π

2的整数倍．

(2)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π

4－α等．

②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π

4

－θ等．

2、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋α＝________.

解析∵⎝

⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋α＝π2

， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α

＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1

2

.

变式：已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12

，则)26

cos(απ+＝________.

类型三 三角函数的单调性

1、(1)函数f (x )＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3的单调递增区间是________________．

(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π

2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)⎣⎡⎦⎤12，5

4 解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π

2(k ∈Z )得，

k π2－π12＜x ＜k π2＋5π

12

(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π

12(k ∈Z )． (2)由π

2＜x ＜π，ω＞0得，

ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，

所以⎩⎨⎧

ωπ2＋π4≥π

2

，ωπ＋π4≤3π

2，

解得12≤ω≤54

.

思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 2、(1)函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫－2x ＋π

3的单调减区间为________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π

2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．

答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤32，7

4 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2，k ∈Z ，

得k π－π12≤x ≤k π＋5π

12

，k ∈Z .