行列式算法归纳总结

数学与统计学学院

中期报告

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题目: 行列式的算法归纳

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2012年6月20日

目录

引言 (2)

1 行列式性质 (2)

2 行列式计算方法 (5)

2.1定义法 (5)

2.2递推法 (6)

2.3化三角法 (9)

2.4拆元法 (11)

2 .4加边法 (12)

2.6数学归结法 (14)

2.7降价法 (15)

2.8利用普拉斯定理 (16)

2.9利用范德蒙行列式 (17)

结论 (18)

参考文献 (18)

行列式的概念及应用

摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出了行列式的计算方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理和利用范德蒙行列式的方法。

关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式

The concept and application of determinant

In this article, it first lists some calculated properties of determinants, and then characterizes some methods to calculate determinant, including: definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered，Mathematical induction，reduction，the method using Laplace theorem or the van demon determinant.

Keywords: determinant; system of linear equations;Van demon determinant

引言

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

1 行列式的性质

性质1[1]

行列互换，行列式值不变，即

=

nn

n n n n a a a a a a a a a

212222111211nn

n n n n a a a a a a a a a 212

221212111

其实，元素

a

ij

在上式的右端位于第j 行第i 列，即此时i 是列指标，j 为行指标。

在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。

性质2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。

性质3 如果行列式的某一行()或一列的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行()或列而其余行()或列不变的两个行列式的和。

即

nn

nj n n

j n

j nn nj n n j

n j nn nj nj n n j j n j j a c a a c a a c a a b a a b a a b a a c b a a c b a a c b a

12221111112221111112222111111+

=+++ 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。

性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2.行列式的计算方法

2.1 定义法

n 阶行列式计算的定义[3]：

12

1212

111212122212()

12(1)n n

n

n n n n n nn

j j j j j nj j j j a a a a a a D a a a a a a τ=

=

-∑

其中，

12

n

j j j ∑

表示对所有n 级排列求和。12

n j j j 是1,2,,n 的一个排列，当12

n j j j 是

偶排列时，12()

(1)

n j j j τ-是正号；当12

n j j j 是奇排列时，12

()

(1)n j j j τ-是负的。1212n j j nj a a a 是

D 中取自不同行不同列的n 个元素的乘积。

例2.1：证明111213141521

22232425

31

32414251

52

00000000

a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.

证明： 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1

2

12n j j

nj a a a

则

1251212

5

()

12(1)

n j j j n j j nj j j j D a a a τ=

-∑

. （3）

其中115,,

,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前

两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故D =0.

注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.

2.3 递推法

应用行列式的性质，把一个较高阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n -1阶或n -1阶与n -2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法[4]

。

注意：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难 找出递推关系式，从而不能使用此方.