自我综合评价(一)

自我综合评价(一)

[测试范围：第一章 直角三角形的边角关系 时间：45分钟 分值：100分] 一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)

1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3, AC ＝4，则sinA 的值为( )

A.34

B.43

C.35

D.45

[答案] C

2．若α的余角是30°，则cos α的值是( ) A.12 B.32 C.22 D.33

[解析] A 先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．α＝90°－30°＝60°，cos α＝cos60°＝12

.

3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cosA ＝1

4，则AC 等于( )

A ．45

B ．5 C.15 D.1

45

[答案] B

4．在Rt △ABC 中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )

A ．没有变化

B ．都扩大为原来的5倍

C ．都缩小为原来的1

5

D ．不能确定

[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( )

A.甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

[解析] D 如图1－Z －1，甲中：AC ＝140 m ，∠C ＝30°，AB ＝140×sin30°＝70(m)；乙中：DF ＝100 m ，∠F ＝45°，DE ＝100×sin45°＝50 2≈70.71(m)；丙中：GI ＝95 m ，∠I ＝45°，GH ＝95×sin45°＝

952

2

≈67.18(m)；丁中：JL ＝90 m ，∠L ＝60°，JK ＝90×sin60°＝453≈77.9(m)．可见JK 最高．

图1－Z －1

6.已知锐角A 满足表达式2sin 2A －7sinA ＋3＝0，则sinA 的值为( ) A.12 B ．3 C.1

2

或3 D ．4 [解析] A 根据一元二次方程的求解方法，求出sinA ＝1

2或sinA ＝3，但sinA 的值应该大

于0且小于1，所以sinA 的值为1

2

.

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝3

4，则sinB ＝________.

[答案] 4

5

[解析] 可以设BC ＝3x ，AC ＝4x ，由勾股定理得出AB ＝5x ，sinB ＝AC AB ＝4x 5x ＝4

5.

8．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i ＝1∶3，坝外斜坡的坡度i ＝1∶1，则两个坡角的和为________．

[答案] 75°

[解析] 坝内斜坡的坡度i ＝1∶3，说明tan α＝3

3

，则α＝30°；坝外斜坡的坡度i ＝1∶1，说明tan β＝1，则β＝45°，两角和为75°.

9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sinA ＝

3

2

；②cosB ＝12；③tanA ＝3

3

；④tanB ＝ 3.其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号)． [答案] ②③④

[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sinA ＝

BC AB ＝1

2

，故①错误；由题意知∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴cosB ＝cos60°＝1

2，故②正确；∵∠A ＝30°，∴tanA ＝tan30°

＝

3

3

，故③正确；∵∠B ＝60°，∴tanB ＝tan60°＝3，故④正确． 10．如图1－Z －2，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝________．

图1－Z －2

[答案]

55

11．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －3，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为________米．

图1－Z －3

[答案] 9

[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE.设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，

∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，

∴DE ＝3BE ＝3x 米， ∴AC ＝DE ＝3x 米． 在Rt △ABC 中，

∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x(米)． ∵AB －BE ＝AE ，

∴3x －x ＝6，∴x ＝3，AB ＝3×3＝9(米)． 即旗杆AB 的高度为9米．

三、解答题(本大题共6小题，共56分)

12．(5分)计算：(2015－1)0

－(3－2)＋3tan30°＋⎝⎛⎭⎫

13－1

.

解：原式＝1－3＋2＋3×

3

3

＋3＝1－3＋2＋3＋3＝6. 13．(7分)先化简，再求代数式a a ＋2－1

a －1÷a ＋2a 2－2a ＋1的值，其中a ＝6tan60°－2.

解：原式＝a a ＋2－1a －1·（a －1）2a ＋2＝a a ＋2－a －1a ＋2＝1

a ＋2.

∵a ＝6tan60°－2＝6×3－2＝63－2. ∴原式＝1a ＋2＝163－2＋2＝3

18

.

14．(10分)如图1－Z －4，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45°，从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30°，已知树高EF ＝6米，求塔CD 的高度．(结果保留根号)

图1－Z －4

解：过点P 作PG ⊥CD 于点G ，交EF 于点H. ∵∠ADB ＝∠α＝45°，∠EFD ＝90°，