八年级上册数学第一章知识点和题

第一章 认识三角形

1.1认识三角形

➢ 学习目标

1. 掌握三角形的概念，并能用符号正确表示三角形。

2. 能够正确地按角将三角形进行分类。

3. 理解三角形的三边关系，并利用其进行计算。

4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用量角器、三角尺等工具画三角形。

➢ 知识点

1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。 “三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点） 三角形内角和为180°

2. 性质：三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。

3. 按角进行分类：

锐角三角形（三角形的三个内角都小于90°）；

直角三角形（三角形有一个角是90°）；（记作Rt △ABC ）

钝角三角形（三角形有一个角大于90°）。

A

B C A B C

4. ★三角形的角平分线、中线和高线

角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的定点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。

中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。

高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

★重要性质：1角平分线上的点到角的两边距离相等。

2中线平分与它相交的边。

3一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内

部，交于一点。

4三种三角形都有三条高线，且其所在直线都交于一点。高线是

顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线

上。

5. 三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高除以2。

★同高等底的两个三角形面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

1.3 证明

➢学习目标

1.知道证明的意义和证明的必要性

2.知道证明的过程及书写格式

3.会证明三角形的内角和定理

4.知道三角形的外角及外角的性质

➢知识点

1.证明

要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的

定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推

理过程叫做证明。

2.三角形的外角及外角的性质

外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三

角形的外角。

3. 重要结论：

A．三角形三个内角的和等于180°；

B．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

C. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

D.三角形的外角和为360°

4. 证明几何命题的一般格式

（1）按题意画出图形。

（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。

（3）在“证明”中写出推理过程。

注意：1.有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这是只要写出“证明”一步即可。

2.在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入

证明中，辅助线通常画成虚线。

1.4全等三角形+1.5三角形全等的判断

1. 全等三角形

定义：1能够重合的两个图形称为全等图形；

全等用符号“≌”表示，读做“全等于“

2能够重合的两个三角形形称为全等三角形；

3两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对

应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角

叫做全等三角形的对应角。

性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等。

★三角形全等的条件

1 三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）；

2 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；

3 有两个角和这个两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”）；

4 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS”）；

5 HL（Rt△）；（两Rt△三角形一条斜边与一条直角边对应相等则两三

角形全等）

定义：垂直于平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 1.6尺规作图作法：

例题1下面三种说法：①两个能够重合的三角形是全等三角形；②全等三角形的形状和大小相同；③全等三角形的面积相等。其中正确的说法有（）A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

例题2 如图，AD⊥BC，∠1=∠2 ，∠C=65°，求∠BAC的度数。

例题3如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O。

（1）当∠ABC=60°,∠ACB=80°时，求∠BOC的度数；

（2）当∠A=40°时，求∠BOC的度数；

（3）当∠A=x时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示）。

例题4 已知△ABC 中，AC=5cm 。中线AD 把△ABC 分成两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm 。你能求出AB 的长吗？

例题5 如图，把两根钢条AA ˊ，BB ˊ的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出A ˊB ˊ的长就知道内槽AB 的宽。请说明理由。

例题6 一块三角形玻璃不小心摔成如图三片。只需带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃。你知道应带哪一片碎玻璃吗？请说明理由。

A

B C