电磁场新2要点

I0
I h
2 r
J
2U ，
ln b
a
G0
I0 U
2
ln b
a
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例2 半径分别为 a和 b的两个同心导体球壳之间充满了两种导电煤质，上半
部分电导率为 1 ，下半部分电导率为 2 ，在两个导体球壳加上 U 0。
求：（1）球壳之间的电场强度。 （2）导体煤质中电流分布。 （3）球壳电阻器的电阻。
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电流密度为：
J1
1 E1
1abU 0
(b a)r2
J2
2E2
2abU0
(b a)r2
总电流
I I1 I2 J12 r2 J2 2 r2
abU0 b-a
2（1
）
2
电阻
R
U0 I
b-a
2（1 2）ab
图2-5 填充两种导电媒质的同 心球壳
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6.充电时的瞬态
对导体而言, 由电流连续方程 J=
t
推得： J= E= D=
即 = ,
t
+ =0 t
解得
t
t
t
=0e =0e
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即导体的值随时间而减小，驰豫时间为 ( = )。
当t 时， t 减小到
0
e
=36.8
%
0
对良导体 而言 很小，例如铜只有10-19s
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第二章 恒定电场
2.1 恒定电场的基本概念
恒定电流空间存在的电场——恒定电场
恒定电流
ຫໍສະໝຸດ Baidu
传导电流：在导电媒质中传输； 运动电流：离子或电子运动形成。
由电荷守恒可知，从闭合面流出的电流等于一定体积内电荷的减少率
s
J
r, t
ds
dq dt
若 dq =0， 则表明电流连续，无散度源，是恒定电流。 dt
p= I V J E= E E= E2 =J2/
S
导体内 E=J/ 理想导体内 J一定， E
, E 0
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5.电动势 维持导体的电流需要电源.
当电荷沿C运动一周，其所做的功为:
A= F dl
=q
内
E e＋E c
dl +
Ec
外
dl
=q
Ee
内
dl +
U 0
解得
C1＝
U ln a
b
C2
U ln a
b
ln b
U ln a
ln
r
U ln a
ln
b
U ln b
(ln
b
ln
r)
U ln b
ln
b r
b
b
a
a
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E
er
d
dr
r
U ln
b
er
a
J
E
U
r ln b
er
a
I J S J 2 rh h为柱面长度
单位长度漏电流、漏电导
Ec
C
dl
Ee 为非库仑力形成的场
Ec dl=0
Ec 为库仑力形成的场
A=q Ee dl 电源内
ε=
A q
=
内
E
e
dl＝C E
dl
在电源外部 Ee =0
Ee dl＝0 外
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结论 对总电场 E 有：
不穿过电源的回路积分 E dl=0 穿过电源的 回 路 积 分 E dl=ε
U
s E dl 0
J 0
E 0
J E 2 0
J1n J 2n E1t E2t G I
U
E E
q I U U C G
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2.静电比拟法
静电场与恒定电场同解 方程 2 0 ，且边界条件 形式一样，故它们的解形式相同。
对某一恒定电场，若相应的静电场边值解已知， 则恒定电场的解可以直接写出，只须做相应的对偶变
解：
电位 满足拉普拉斯方程：
选用球坐标，对球对称情况，2 =
1 r2
d dr
r
2
d dr
=0,
21 0，22 0
设：1
A r
B，2
C r
D
在r
b处，1
|rb
A b
B
0,
B
A b
故：1
A(1 r
1) b
图2-5 填充两种导电媒质的同 心球壳
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同理：在r
b处，2
|r b
2.4 导体中的恒定电场与静电场的比拟
1.静电场与恒定电场方程及边界条件对比
静电 场
恒定电场
(对无源区均匀介质）
（均匀导电媒质中）
对偶关系
s D d s 0 Q 0时 s J d s 0
D J
s E dl 0
D 0 0时
E 0
D E 2 0
D1n D2n 0时
E1t E2t C q
所以 一般对静态导体 =0
2 =0
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2.3 恒定电场的边界条件
J1n E1t
=J 2n =E 2t
或
nˆ
J1 J2
=0
nˆ E1 E2 =0
或
1
1
n
=
2
2
n
1 =2
n
1
J2 2
J1 1 2
图2-2恒定电场边条界条件
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tan1 1 tan2 2
C b
D
0，有D
C b
,
故：
2
C(1 r
1) b
在导电媒质分界面上， 1 2，有A C,故
1
2
A(1 r
1) b
E
E1
E2
rˆ
r
rˆ
A r2
U0
b
a Erdr
b a
A r2
dr
Ab-a ab
由此可得：A abU0 b-a
电场为：
Er
abU0 ba
1 r2
图2-5 填充两种导电媒质的同 心球壳
解: 在介质内 2＝0
由对称性可知 只是 r 的函数，
选用柱坐标
1 r
d dr
r
d
dr
=0,
d
r dr C1,
d C1 dr
r
解得
=C1 ln r+C2
b a
由边界条件确定上式的待定常数
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将边界条件
r a, U r b, 0
代入上式
得
C C11
ln a C2 ln b C2
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2.2 恒定电场的基本方程
1.基本方程 积分
s J ds 0 E dl 0
微分
J 0 E 0
2 0
J E 欧姆定律微分形式
—电导率 s/m（西门子/米）
对均匀导电媒质一般是常数，但随温度而变化。
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2. 恒定电场对拉普拉斯方程的推导：
J 0, J E
E0
而 为常数
E0
又
E
E 2 0
即
2 0
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3.材料分类
导体媒质、良导体 理想导 体
理 想 电介 质 有漏电的电介质
>1106s/m 0 0 1
一般可认为金属材料的介电常数 0
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4.焦耳热损耗（单位体积内的功率损耗）
若 2 ，即为理想导体， 则 tan1 0, 1 0
即 J1、E1 垂直于交界面； 交界面为等位面。
n
1
J2 2
J1 1 2
图2-2恒定电场边条界条件
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例1：同轴线内外半径分别为a、b，填充介质 0 ，漏电，
同轴线电压U，求介质内、E、J、G（0 单位长度漏电导）。