斯勒茨基方程

(x1,x2) (z1,z2):
替代效应＋收入效应
z y
x1
y1 z1
x1
判断价格总效应的符号
替代效应总是负的（同价格变动的方向相反） ，但收入效应却能在两个相反的方向上变动：
如果是正常商品，
x1 x1s x1n
（－） （－）
（－）
如果是低档商品，
x1 x1s x1n
（?） （－） （＋）
收入效应为负，且大于 替代效应
y
x1
8.4 变动率
x1 x1s x1n
把 x1m 定义为负收入效应：
x1 x1s x1m
等式两边都除以 p1，得到：
x1 x1s x1m
p1
p1
p1
其中
p1
m x1
，代入上式，得：
x1 p1
x1s p1
x1m m
x1
这就是用变化率表示的斯勒茨基恒等式。
例子：假设消费者对牛奶的需求函数 为
m x1 10 10 p1
起初，他的收入是每周120美元，牛 奶的价格是每夸脱3美元。假设每夸脱 牛奶的价格下降到2美元，求收入效应。
替代效应的符号
如果一种商品的价格下降，那么可归因 于替代效应的该商品的需求的变动一定是 非负的，即： 如果p1 > p’1,则必定有
如果收入效应足够大，价格上升可能引 起需求上升，这就是吉芬商品。
吉芬商品必定是低档商品，但低档商品 却不一定是吉芬商品：吉芬商品的收入 效应不为负，而且还必须超过替代效应。
低档商品
x2 收入效应为负，但小于替代效应
(x1’’’,x2’’’) x2’ x2’’
x1’ x1’’
x1
x2
z x
吉芬商品
更低的 p1使商品1相对便 宜，导致消费者 用商品2 替代商品1
(x1,x2) (y1,y2) 是替代效应
y
x1
y1
x1
更确切地说，替代效应 x1s 就是在商品 1的价格变动到p’，同时货币收入变动 到m’的情况下，对商品1的需求所发生 的变化，即：
x1s x1( p, m) x1( p1, m)
替代效应又被称为补偿的需求变动，指 由于价格上升，消费者被给予足够的收 入作为补偿以购买他原有的消费束。
例子：假设消费者对牛奶的需求函数为
x1
10
m 10 p1
起初，他的收入是每周120美元，牛奶 的价格是每夸脱3美元。假设每夸脱牛奶 的价格下降到2美元，求替代效应。
8.2 收入效应：移动
上式说明，基于替代效应的需求变动和 价格变动的方向相反。
斯勒茨基方程中的替代效应可以是两种 替代效应的任一种，这取决于所研究的问题。 实际上对于微小的价格变动，这两种替代效 应是相同的。
8.7 补偿需求曲线
用我们所学的框架可以推导出三种需求 曲线： 1、马歇尔需求曲线（收入保持不变） 2、斯勒茨基需求曲线（购买力保持不 变） 3、希克斯需求曲线（效用保持不变）
x1( p1' , m) x1( p1, m)
结果是 x1s 0。
x2
转动后的预算线上的最优选 择必定是X或X右侧的某个点
x2 z2
x
y2 y
x1
y1 z1
x1
替代效应总是与价格作相反方向的变 动。我们说替代效应是负的，就是因 为由替代效应引起的需求变动方向总 是同价格变动的方向相反；如果价格 上升，由替代效应引起的需求就下降。
“转动－移动”
x2
x2 初始选择
x
最终选择
转动 移动
x1
x1
8.1 替代效应：“转动”
x2
消费者的预算是m
m
p2
初始选择
x1
消费者的预算是m
x2
m
A
p2
商品1价格下降，使 预算线围绕A点逆时 针转动
x1
x2
m
A
p2
m p2
在新的价格下，购买初 始商品束需要m’
x1
求新预算线的表达式
m’是恰好能使原消费束能支付得起的那 个货币收入量，即： m’= p’1 x1+ p2 x2 m= p1 x1+ p2 x2 m’- m = x1 (p’1 –p 1)
1、 x1 x1( p1' , m) x1( p1, m)
p1
p1
表示价格变动，收入保持不变时需求 的变动率，即总效应；
2、x1s x1( p1' , m) x1( p1, m)
p1
p1
表示价格变动，收入调整到恰使原消费束
能够支付得起的需求变动率，即替代效应；
3、x1m m
x1
Байду номын сангаас
x1( p1' , m) x1( p1, m) m m
当某种商品价格下降，消费者 会用该商品去替代相对昂贵的其它 商品。
收入效应(Income effect )：由于具 有了购买力变化引起的需求变化。
为了将价格变动对需求的影响分解为替 代效应和收入效应，可把价格变动分为 两步：
第一步，相对价格发生变动，同时调整 货币收入使购买力保持不变；
第二步，保持相对价格不变，对购买力 进行调整。
习题
某消费者的效用函数为U=XY，PX=1元， PY=2元，M=40元，现存PY突然下降到 1元。计算价格变动对X和Y的总效应、 替代效应和收入效应。
X 替代：－5，收入：5 Y 替代：5，收入：5
初始
x2 预算
线
完全互补
I1 最终预算线
收入效应＝总效应
x1
x2
完全替代
初始 选择
最终预算线
初始预算线
最终选择
x1
替代效应＝总效应
拟线性偏好
x
最终预算线
2
初始预 算线
x1
替代效应＝总效应
8.6 另一种替代效应
斯勒茨基替代效应（Slutsky substitution effect）：在价格发生变动，而消费者的购买 力保持不变以使初始的消费束仍能支付得起 的情况下需求所发生的变动。
希克斯替代效应（Hicks substitution effect）： 在价格发生变动，消费者保持效用不变的情况 下需求所发生的变动。
希克斯替代效应
x2
初始 选择
最终选择
x1
与斯勒茨基替代效应相同，希克斯替代 效应也一定为负。
证：令（x1, x2 ）为按价格（ p1, p2）选 择的需求束，（y1, y2 ）为按价格（ q1, q2）选择的需求束。假设对消费者而言， 两需求束无差异，即根据显示偏好定义， 以下不等式不成立
x2
(y1,y2) (z1,z2): 收入效应
x2 z2
x
y2
z y
x1
y1 z1
x1
收入效应是商品1的价格保持在p’1上 不变，同时使收入从m’变到m时对商 品1需求的变动，即：
x1n x1( p1' , m) x1( p1' , m)
如果是正常商品，则收入增加会导致 需求的增加；如果是低档商品，则收 入增加会减少需求。
8、斯勒茨基方程
Slutsky Equation
价格变动效应
当一种商品价格发生变化时，会产 生两种效应： －－用一种商品来交换另一种商品 的比率会发生变化； －－收入的购买力会发生变化。
替代效应 (Substitution effect ):由于 两种商品之间的交换比率的变化所 引起的需求变化。
8.3 需求的总变动
需求的总变动 x1 ，是在收入保持不变的情 况下由价格变动引起的需求变动：
x1 x1s x1n
x1( p1 , m) x1( p1, m)
x1s x1( p, m) x1( p1, m) ＋
[x1( p1, m) x1( p1, m)]
斯勒茨基方程
x2
z2 x2 x y2
x1
表示价格不变，收入作出调整时的需求变 动率，即收入效应。
需求法则
消费者理论并不限制价格变动时需求变动的情 况，也不限制收入变动时需求变动的情况，但 它的确限制了这两种变动是如何相互作用的。
需求法则：如果一种商品的需求随着收入的增 加而增加，那么这种商品的需求一定随着价格 的上升而下降。
8.5 替代效应和收入效应的例证
p1x1+p2x2> p1y1+p2y2 q1y1+q2y2> q1x1+q2x2 由此，以下两不等式必成立
p1x1+p2x2≤p1y1+p2y2 q1y1+q2y2≤ q1x1+q2x2 将以上两不等式相加，重新整理得：
(q1-p1)(y1-x1) +(q2-p2)(y2-x2)≤ 0
这里， q2＝p2，于是有： (q1-p1)(y1-x1) ≤ 0
m x1p1
收入和价格总是在按相同的方向变动：如果价 格上升，必须提高收入才能支付得起相同的消 费束。
m’= m + m
新的预算线表达式为：
p’1 x1+ p2 x2 ＝m＋ m
问题：在新的预算线上，Ｘ仍是最优选 择吗？
x2 x2’
x1’
x1
x2
x2 x
y2
y
x1
y1
x1
x2
x2 x y2