3.4 导数的乘法与除法法则 教案2(高中数学选修1-1北师大版)

3.4 导数的乘法与除法法则 教案

一、教学目标：

1、了解两个函数的和、差的求导公式；

2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；

3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 二、教学重点：函数和、差导数公式的应用

教学难点：函数和、差导数公式的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程

（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x

y

∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

/

x x y =，即x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(000

0/

2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为

))(()(00/0x x x f x f y -=-

3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个

),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函

数)(/

x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()( （3）取极限，得导数/

y ＝()f x '=x

y

x ∆∆→∆0lim

5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1

)'(-=n n

nx x

（二）、探析新课

两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即

)()(])()([)

()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+

证明：令)()()(x v x u x f y ±==，

)]

()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，

∴

x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x

v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫

⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim

lim lim 即 )()()]()(['

'

'

x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：

（1）x

x y 22

+=； （2）x x y ln -=

； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）

2

2

1x x

x y +-=

。 解：（1）2ln 22)2()()2(2

2

x

x

x

x x x y +='+'='+='。

（2）x

x

x x x x y 1

21)(ln )()ln (-

='-'='-='。 （

3

）

[]

123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='

-+='x x x x x x x x x x y 。

()

x x

x x x x x x x x x x x x x x x x y 21

222)()()(111)4(23232122

122222++-

=++-='+'-'='+-='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='------

例2：求曲线x

x y 1

3-

=上点（1，0）处的切线方程。 解：()

22331311x x x x x x y +='⎪⎭

⎫

⎝⎛-'='

⎪

⎭⎫

⎝

⎛-='。

将1=x 代入导函数得 41

1

13=+⨯。 即曲线x

x y 1

3-

=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ，

即44-=x y 。

(三)、练习：课本44P 练习：1、2.

补充题：1、求y ＝x 3＋sin x 的导数．解：y'＝(x 3)'＋(sin x )' ＝3x 2＋cos x ． 2、求y ＝x 4－x 2－x ＋3的导数．解：y'＝4x 3 －2x －1．

（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即

)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+

（五）、作业：课本47P 习题2-4：A 组2、3 B 组2 五、教后反思：