第九章微专题九巧用动态圆解磁场中的临界、极值问题

[巩固训练]
1.如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域 abcd，e 是 ad 的中点，f 是 cd 的中点．如果 在 a 点沿对角线方向以速度 v 射入一带负电 的带电粒子(带电粒子重力不计)，恰好从 e 点射出，则( )
A．如果粒子的速度增大为原来的 2 倍，将从 d 点射出 B．如果粒子的速度增大为原来的 3 倍，将从 f 点射出 C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的 2 倍， 也将从 d 点射出 D．只改变粒子的速度使其分别从 e、d、f 点射出时，从 e 点射 出所用时间最短
A．θ＝90°时，l＝9.1 cm B．θ＝60°时，l＝9.1 cm C．θ＝45°时，l＝4.55 cm D．θ＝30°时，l＝4.55 cm
[解析] 如图所示，S 到 MN 的距离 d0 ＝dsin θ，因电子在磁场中沿逆时针方 向转动，则电子打在 MN 上最上端的 位置对应于电子运动轨迹与 MN 的切 点，电子打在 MN 上最下端的位置对 应于到 S 的距离等于电子运动轨迹直 径的点(若 OD >12 MN ，则最下端位置为 N)．
[典例 1] 如图所示，一足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应 强度为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域 ad 边中点 O 射出与 Od 边夹角为 30°、大小为 v0 的带电粒子．已 知粒子质量为 m，电荷量为 q，ad 边长为 L，ab 边足够长，粒 子重力忽略不计，求：
(1)试求粒子能从 ab 边上射出磁场的 v0 的大小范围； (2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场 中射出所在边上位置的范围．
(2)轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点 P 为圆 心、半径 R＝mqBv0的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心 圆”)上． 2．方法界定 将一半径为 R＝mqBv0的圆绕着“入射点”旋转，从而探索出临 界条件，这种方法称为“旋转法”．
[典例 2] (多选)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任 意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L＝ 9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的 夹角为 θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面 向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10－4T，电子质量 m＝ 9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力．电子 源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能 位置的区域的长度为 l，则( )
f 点靠下，B 错误；
如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的 2 倍，根 据 r＝mqBv得，轨道半径变成原来的一半，粒子从 ae 的中点射出， C 错误；根据粒子运动的周期 T＝2qπBm知，粒子运动周期与速 度无关，从 e 和 d 点射出的粒子，转过的圆心角都是 90°，运 动时间都是T4，运动时间相同，D 错误． 答案：A
解析：由于速度与半径垂直，因此圆心一定 在 a 点正下方，从 e 点射出时，圆心角恰好 为 90°，如图所示，根据 r＝mqBv可知，若速度 增为原来的 2 倍，则轨道半径也增为原来的 2 倍，圆心角不变，对应的弦也增为原来的 2 倍，刚好从 d 点射出，A 正确；如果粒子的速度增大为原来的 3 倍，轨道半径也变为原来的 3 倍，从图中可看出，出射点在
(2)当粒子从 ad 边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转
过的圆心角为 300°，所以最长时间为 tm＝56T＝53πqmB，射出的范
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围为 OC＝r2＝L3.
[答案]
(1)q3BmL＜v0＜qmBL
(2)53πqmB
L 3
1．适用条件 (1)速度大小一定，方向不同 带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做 匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为 v0，则圆周运动半径为 R＝mqBv0.如图所示．
[解析] (1)画出从 O 点射入磁场的粒子运 动轨迹的动态圆，能够从 ab 边射出的粒 子的临界轨迹如图所示，轨迹与 dc 边相 切时，射到 ab 边上的 A 点，此时轨迹圆 心为 O1，则轨迹半径 r1＝L，由 qv0B＝mvr012得最大速度 v0＝qBmL. 轨迹与 ab 边相切时，射到 ab 边上的 B 点，此时轨迹圆心为 O2，则 轨道半径 r2＝L3，由 qv0B＝mvr022得最小速度 v0＝q3BmL. 所以粒子能够从 ab 边射出的速度范围为： q3BmL＜v0＜qBmL.
第九章微专题九巧用动态圆解磁场中的 临界、极值问题
1．适用条件 (1)速度方向一定、大小不同 粒子源发射的速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁 场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速 度的变化而变化．
(2)轨迹圆的圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情 景)，速度 v0 越大，运动半径也越大．可 以发现这些带电粒子射入磁场后，它们 运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线 PP′上． 2．方法界定 以入射点 P 为定点，圆心位于 PP′直线上，将半径放缩作轨 迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”．
电子运动轨迹的半径 r＝|me|Bv ＝4.55 cm.由图中几何关系有 O′C ＝ r2－r－d02，O′D ＝ 2r2－d02.当 θ＝90°时，O′D 取得最小值 3r，此时 OD ＝ O′D >L2，从而有 l＝ NC ＝ ON ＋ O′C －dcos θ＝L2＋ r2－r－d02－dcos θ.当 θ＝90°时，l＝9.1 cm；当 θ＝60°时，l＝6.78 cm；当 θ＝45°时，l＝5.68 cm，当 θ ＝30°时，l＝4.55 cm.A、D 正确，B、C 错误． [答案] AD
2．(2018·四川宜宾质检)如图所示，在 0≤x≤a、0≤y≤a2范围内有垂直于 xOy 平面 向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，坐 标原点 O 处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内， 与 y 轴正方向的夹角分布在 0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆 周运动的半径介于a2到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历 的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离 开磁场的粒子从粒子源射出时：