马尔科夫链考试例题

9
5．设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随 机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的 球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k， 试用马尔可夫链描述这个模型（称为爱伦菲斯特 模型），并求转移概率矩阵。
解 这是一个齐次马氏链，其状态空间为
I={0，1，2，…，a} 0 1 0 0 ... 0
需讨论 r
19
当 r 1
c 1
1 u0 uc
(u j u j1 )
c 1
j0
j 0 c 1
d
j
c1 j 0
r jd0
1 rc 1 r
d0
而 u j u j uc (ui ui1)
i j
c 1
c 1
di
rid0
i j
i j
r j (1 r rc j1)d0
r j rc 1 r
P(Yn 1) p1
p20 P(Xn1 0| Xn 2) P(Xn 1Yn 0| Xn 2)
p21
P(Xn1
1|
Xn
2)
P(Yn 1)
P(Xn 1Yn
0
1|
Xn
2)
P(Yn 0) p0
p22 P(Xn1 2| Xn 2) P(Yn 1) p1
24
所以转移矩阵为
p0 p1 p2 p3 p4
0
0
p2
prp
1
15
（3）
从而结束比赛的概率； 从而结束比赛的概率。 所以题中所求概率为
( p rp) 0 p(1 r)
16
例2 赌徒输光问题
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，
(2)证 明 ： P{X(1)=2,X(2)=2 X(0)=1}=p12 p22
(3)求 P{X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3}
28
例4 市场占有率预测
设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙3厂 家在该地销售。经调查，8月份买甲、乙、丙三厂 的户数分别为480，320，800。9月份里，原买甲的 有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的 有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原买丙的 有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。用状态1、 2、3分别表示甲、乙、丙三厂，试求
r
1
(
即
q) p
p
a
q( qp时)c ， 甲先1输(光qp )的c 概率为b
c
用同样的方法可以求得乙先输光的概率
当
p
q
时，乙输光的概率为1
(
q p
)
a
当 p q 时，乙先输光的概率为 a c
1
(
q p
)c
22
例3 排队问题
顾客到服务台排队等候服务，在每一个服务周期中只 要服务台前有顾客在等待，就要对排在前面的一位提 供服务，若服务台前无顾客时就不能实施服务。
i+1，以概率r停留在i，且 r p q 1 ，试
求转移概率矩阵。
E {..., 2, 1,0,1, 2,...}
... ... ... ... ... ... ... ...
P1
... ...
0 0
p 0
r p
q r
0 q
0 0
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求
一步转移概率。
3
状态空间I={1，2，3，4，5}，
参数集T={1，2，3，………}，
1 0 0 0 0
其一步转 移矩阵为
1
2
P1
0
0 1 2
1 2 0
0 1 2
0
0
0
0
1 2
0
1 2
0
0
0
0
1
有两个吸收壁的随机游动
4
例2．带有反射壁的随机游动
6
q p 0 0 0 ...
P1 q0
0 q
p 0
0 p
0 0
... ...
... ... ... ... ... ...
qp
0123 反 射 壁
7
例3．一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一 个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是： 质点总是以概率p顺时针游动一格， 以概率
q 1 p 逆时针游动一格。试求转移概率 矩阵。 I {1, 2, ..., N }
根据全概率公式有 u j u j1 p u j1q
这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是
u0 1, uc 0
18
欲求 ua
于是
先求 u j
u
j
u
j 1
(
q p )(u j1
u
j
)
设 r q p
d j u j u j1
则可得到两个相邻差分间的递推关系
d j rd j1
于是
d j rd j1 r 2d j2 r j d0
设随机游动的状态空间I = {0，1，2，…}，移动的 规则是：
（1）若移动前在0处，则下一步以概率p向右移 动一个单位，以概率q停留在原处（p+q=1）；
（2）若移动前在其它点处，则均以概率p向右移 动一个单位，以概率q向左移动一个单位。
设 X n 表示在时刻n质点的位置，
则
{ X n ， n 0 }是一个齐次马氏链，写出其一步转
17
解 设0 j c
设 u j 为质点从 j 出发到达 0 状态先于到达 c 状态的概率。
考虑质点从j出发移动一步后的情况
在以概率 p 移到 j 1的假设下，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为 u j1
同理 以 概 率 q 移 到 j 1 的 前 提 下 ，
到达0 状态先于到达c 状态的概率为u j1
2
一步转移概率矩阵的计算
引例 例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，移动的规则是：
1
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左
或向右 移动一单位；
2
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5
质点在1，5两点被“吸收”
阵。
I={1，2，3，4，5，6}
11
1 1 1 1 1 1
6
6
6
6
6
6
0
2 6
1 6
1 6
1 6
1 6
P
0
0
3 6
1 6
1 6
1
6
0
0
0
4
1
1
6 6 6
0
...
0
0
5
1
6 6
0 ... 0 0 1 0
12
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率
是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ，
p p p p i ii1 i1i2
im-1im
iI
由全概率公式得到证明，它是公式（1)的推广。
例3：考虑状态0，1，2上的一个马氏链Xn , n 0,
0.1 0.2 0.7
它又转移概率矩阵P 0.9 0.1
0
0.1 0.8 0.1
初始分布为p0 0.3，p1 0.4，p2 0.3，试求
前言：马尔可夫过程的描述分类
例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，移动的规则是：
1
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左
或向右 移动一单位；
2
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5
质点在1，5两点被“吸收”
1
0
a 1
0
... 0
一步转移矩阵是
a
a
P1
0
2 a
0
a2
...
0
a
... ... ... ... ... ...
0
...
0
a 1 a
0
1 a
0
...
0
0
1
0
10
练习题． 扔一颗色子，若前n次扔出的点数的最大值为j，
就说 Xn j, 试问 Xn j, 是否为马氏链？求一步转移概率矩
I {1，2，3，4，5}
一步转移概率矩阵
1 0 0 0 0
q
r
p
0
0
P 0 q r p 0
0
0
q
r
p
0 0 0 0 1
14
（2）二步转移概率矩阵
P(2) P2
1
qrp
q2
0
0
0 r2 pq
2rq q2 0
0 2pr r2 2pq 2qr 0
0 p2 2pr r2 pq 0
移概率。
5
qp
q p
012 左反射壁
m-1 m 右反射壁
q p 0 0 0 ... 0 0 0
q 0 p 0 0 ... 0 0 0
0 q 0 p 0 ... 0 0 0 P1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 ... q 0 p
0 0 0 0 0 ... 0 q p
P1
3 5 , P2
2 ,试 对 n=1,2,3,计 算 5
P1(n
)
,
P (n) 2
解 ： n 1,
P (1) 1
P{X 1 = 1}=
pi
p (1) i1
p1
p (1) 11
p2
p (1) 21
i E
26
定理4.3 马尔科夫链的有限维分布：
P{X1 i1, X2 i2 ,, Xm im}
（1）转移概率矩阵； （2）9月份市场占有率的分布； （3）12月份市场占有率的分布；
29
解 （1）E{1，2，3},状态1、2、3分别表示甲、乙、丙的用户
P11
480 48 96 480
0.7,
P12
48 480
0.1,
P13
96 480
0.2
P21
32 320
0.1,
P22
概率（1）p{X0 0, X1 1, X2 2}
（2）p{X2 0, X3 2, X4 1}
27
• 练习：马氏链的状态空间I={1，2，3}，初始概 率为
1
4
3 4
0
p1
1 4
,
p2
1 2
,
p3
1,P 4
1 3
1 3
1 3
0
1
3
4 4
(1)计 算 P { X (0 )= 1 ,X (1 )= 2 ,X (2 )= 2 } ,p12 ( 2 )
P1
p0 0
p1 p0
p2 p1
p3 p2
p4 p3
0
0
p0
p1
p2
25
证 P{X n j} P{X n j, X 0 i}
i
P{X n j, X 0 i}
iI
P{X 0 i}P{X n j | X 0 i}
iI
pi
p(n) ij
iI
例 2 设 马 氏 链 的 状 态 空 间 I={1,2},初 始 分 布 为
23
解 先求出转移概率
p00 P(X1 0| X0 0) P(Y0 0) p0
p01 P(X1 1| X0 0) P(Y0 1) p1
p10
P(Xn1
0|
Xn
1)
P(Xn
P(Yn
10) Yn
0|
p0
Xn
1)
p11 P(Xn1 1| Xn 1) P(Xn 1Yn 1| Xn 1)
d0
两式相比
uj
r j rc 1 rc
20
故
ua
ra rc 1 rc
(
q p
)a
(
q p
)c
1
(
q p
)c
当 r 1 u0 uc 1 cd0
而
u j (c j)d0
因此 故
uj
ua
c j
c c a c
b c
21
由以上计算结果可知
当 r 1 即 p q 时，甲先输光的概率为
当
0 p 0 0 ... 0 q
q
0
p
0 ... 0
0
0 q 0 p ... 0 0 P1 ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 q 0 p
p 0 ... 0 0 q 0
8
4．一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移
动的规则是：以概率p从i移到i-1，以概率q从i移到
求甲输光的概率。
分 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向
右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的 概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即 乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1， 2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a出 发到达0状态先于到达c状态的概率。
设在第 n 个服务周期中到达的顾客数为一随机变量Yn
且诸 Yn 独立同分布：
pk 1
k
记 X n 为服务周期 n 开始时服务台前顾客数
则有
Xn1
Xn
Yn,
1Yn,
若Xn 1
在第n周期已有一个 顾客在服务，到第n+1
若Xn 0 周期已服务完毕
此时{ X n ， n 1 }为一马氏链， 求其转移矩阵
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，分析它的
概率特性。
1
例 2 直 线 上 的 随 机 游 动 时 的 位 置 X(t),是 无后效性的随机过程.
例3 电话交换台在t时刻前来到的呼叫数X(t), 是无后效性的随机过程.
例4 布朗运动 无记忆性
未来处于某状态的概率特性只与现在状态 有关，而与以前的状态无关，这种特性叫 无记忆性（无后效性）。
（ p q r 1 ）。设每局比赛后，胜者记“+1”
分，负者记“—1”分，和局不记分。当两人中有
一人获得2分结束比赛。以 X n 表示比赛至第n局
时甲获得的分数。
（1）写出状态空间；
（3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可以 结束比赛的概率是多少？
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
（1）
记甲获得“负2分”为状态1，获得 “负1分”为状态2，获得“0分”为状态3， 获得“正1分”为状态4，获得“正2分”为 状态5，则状态空间为