模块综合检测(三)

模块综合检测（三）

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．不等式x 23} D ．{x |x >3}

解析：选A 不等式化为x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)<0，解得－2

D ．7

解析：选B a 4＋a 8＝2a 6＝10，即a 6＝5，d ＝14(a 10－a 6)＝1

4，则a 18＝a 10＋8d ＝6＋2＝8.

3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞1

2

B.1a ＋1b ≤1

C.ab ≥2

D.1a 2＋b 2≤18

解析：选D 因为2＝a ＋b

2

≤

a 2＋

b 22，所以a 2＋b 2≥8，所以1a 2＋b 2≤1

8

. 4．已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝13

3

，则a n 等于( ) A ．3n B ．3n －

1 C ．3n －

2

D ．3n ＋

1

解析：选C 由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33

)1－3

＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝1

3×3n －1＝3n －2.

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sin C ，则角B 为( )

A.π

6 B.π3 C.2π3 D.5π6

解析：选A 由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝3

2，

所以B ＝π

6

，故选A.

6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则( )

A ．－1

B ．0

C ．－12

D ．－32

2

解析：选C 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12

2

.

7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤x ，x ＋y ≤1，

y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y －1的最大值为( )

A ．5

B ．4 C.1

2

D ．－3

解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫

12，12，z ＝2x －y －1可变形为：y ＝2x －z －1，表示斜率为2，在y 轴上截距为－z －1的一组平行线，将直线l ：z ＝2x －y －1进行平移，当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值，

所以z max ＝2×2－(－1)－1＝4，故选B.

8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )

A. 2

B. 3

C.32

D ．2

解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°. 又由正弦定理得a sin A ＝b

sin B ，

∴sin A ＝a sin B

b ＝

1×323

＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝3

2

.

9．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15.若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30 B ．45 C ．90

D ．186

解析：选C 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝3，

d ＝3，

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)·3＝3n ， ∴b n ＝a 2n ＝6n ，

∴{b n }的前5项和为S 5＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝6＋12＋18＋24＋30＝90. 10．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝4

3

，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形

解析：选A 由正弦定理得

cos A cos B ＝b a ＝sin B

sin A

，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.又b a ＝4

3，所以a ≠b ，故A ＝B 舍

去，所以A ＋B ＝π

2

，即△ABC 为直角三角形．

11．已知a >b ，则不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1

a 中不能恒成立的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选D 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，a －b >0，但a ＋b 的符号无法确定；