工程电磁场高斯定律.ppt

dq2
方向 如图 方向 如图
补充：立体角的概念
平面角：
r 由一点发出的两条射线之间的夹角
取 r1为半径的弧长 dl1 d r1
dlr1 0dl0
dl
da = dl1 = dl0
r1
r0
r 射线长为
一般的定义：线段元dl 对某点所张的平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角
d
dl0
dl
cos
p eR V ' 4π 0R2
V'
2.描述极化强弱的物理量--极化强度 P
定义
P lim
i
pi
V
V
宏观上无限小微观上 无限大的体积元 V
其中：
pi
每个分子的 电偶极矩
单位
c m2
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
P e0E e —电介质的极化率
体积 V 内电偶极子产生的电位
矢量恒等式：
的另一种表述
二、电介质及其极化 polarization
1.极化介质所产生的电位
无外场时： +-
有电场时: +
-
p ql
电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度,排列愈 有序说明极化愈烈
单个电偶极子电位：
V '内多个电偶极子电位：
qd cos p 4π 0R2
p eR 4π 0R2
p eR 4π 0R2
l
lr
r l0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
Sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S
dS0 r02
4
球面度
例2 均匀带电的无限长的直线 线密度
对称性的分析
取合适的高斯面
计E 算ds电 通量 E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl
利用高斯定理解出E
E2rl l 0
E 2 0r
r P
dE
ds r
d E dS
S
S
E dS
S
讨论
正与负
E dS
d E dS 取决于面元的法
S
线方向的选取
如面元正方向向上 知 若如红色虚线箭头所示
则
E
E
ds
ds
>0 <0
通过闭合面的电通量
S
SE dS
规定：面元方向
由闭合面内指向面外
E dS 确定的值 S
E
ds
<0
电力线穿入
1 4π 0
V'
P(r') R2
eR dV
'
(uF ) u F F u
3.极化强度 P与极化电荷的关系
极化电介质所产生的电位等于电荷面密度为 p 的
面积电荷与电荷体密度为 p 的体积电荷共同产生 的电位。
p P en
p P
电荷守恒定律：
(qp )t PdV P dS 0
3.导体为一等位体，导体表面必为等位面。 4.导体表面上的E必垂直于表面。 5.导体如带电，电荷只能分布于其表面。
导体静电平衡时，导体各点电势相等，
即导体是等势体，表面是等势面。
c
dl b
a
证：在导体上任取两点 a 和 b
b
a
b
E dl 0
a
a
b
导体等势是导体体内电场强 静电平衡条件
度处处为零的必然结果
r2
0
解得： E 20
一般形式的高斯定理
已知真空中： E dS S
q0i
i
0
证：
E dS
S
qi
i
0
qpi qoi
i
i
0
已知： qp
( P)dV 高斯公式
P dS
S
v
0E dS P dS (0E P) dS qoi dV
v
S
电介质对电场的影响可归结为极化化后极化电荷或 电偶极子在真空中所产生的作用。
dS 三、电通量 (electric
藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
匀强电场
flux)
E
dS
dsE
通过任意面积元的电通量 d E dS
通过任意曲面的电通量怎么计算？
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
l
Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0
求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
例4 真空中无限大的带电平面，
面密度为 ，求距平面x处的
电场强度。
解: 真空中的高斯定律
P
E ds Q
0
积分得： 2E r2
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张的立体角：
r1
drlr1 0dl0
dl
dS
锥体的“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
r0
球面面元 ds1
定义式
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r 2 cos
单位 球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2 弧度
dV
导体体内处处不带电
E内 0
证明：在导体内任取体积元
E dS 0
由高斯定理
dV
qi
dV 0
S
i
V
体积元任取
0 证毕
导体带电只能在表面！
例1 均匀带电球面 总电量为 Q 半径为 R 求：电场强度分布
解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面)
Q
Ro
r
P E
S
dS
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
Q
E 40r 2
如何理解面内场强为0 ?
P
过P点作圆锥
dq1
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
d
4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d
4 0
dE1 dE2
1-2高斯定律
根据物体的静电表现，可分为三类：导电体（ 导体）、绝缘体（电介质）、半导体。
1.导体 存在大量的可自由移动的电荷 conductor
2.绝缘体 理论上认为一个自由移动的 电荷也没有 也称电介质 dielectric
3.半导体 介于上述两者之间 semiconductor
一.导体的静电平衡条件 1.静电平衡 electrostatic equilibrium 导体内部和表面无自由电荷的定向移动， 说导体处于静电平衡状态。 2.导体静电平衡的条件 E内 0
取过场点的 以球心 o 为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手
先计算高斯面的电通量
E dS
EdS E dS E4 r 2
S
S
S
E dS E4 r 2
S
再根据高斯定理解方程
qi
E4r i 0
Q
Ro
r
P E
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点的高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
E
E ds>0
电力线穿出
dS
S
dS
四、静电场的高斯定理 Gauss theorem
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
qi内
E dS i
S
0
静电平衡条件导体上电荷的分布
由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，
可以得出导体上的电荷分布。