趋势面分析

a0
a1


y1 x12
y2 x22

yn xn2











a2

a3
xy11y21
x2 y2 y22

xn yn yn2

1
xn
yn
xn2
xn yn
源自文库
a4

yn2 a5
趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归 模型拟合优度的重要指标。
在变量z的总离差平方和中，一般用回归平 方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。
总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和 之和。即:
5
多项式趋势面的形式
① 一次趋势面模型 z a0 a1x a2 y
② 二次趋势面模型 z a0 a1x a2 y a3x2 a4xy a5 y2
③ 三次趋势面模型
z a0 a1x a2 y a3x2 a4xya5 y2 a6 x3 a7 x2 y a8 xy2 a9 y3
X

1
x11 x12
x21 x22

xp1
x
p
2


z1
Z


z2


1 x1n
x2n

x
pn


zn

• 则前面方程组式变为：
X T XA X T Z
• 求解，可得：
a0
A


a1

a
p

i 1
i 1
③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令其等于0，
得正规方程组(式中 a 0 , a 1 , , a p 为p+1个未
知量）

n
n
n
na0 a1 x1i a p xpi zi

i 1
i 1
i 1


a0
n i 1
x1i
趋势面分析的基本原则：所选择的趋势面模 型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样 拟合度精度才能达到足够的准确性。
应用：常常被用来模拟资源、环境、人口及 经济要素在空间上的分布规律，它在空间分 析方面具有重要的应用价值。
4
2. 趋势面模型
设某地理要素的实际观测数据为，zi(xi,yi )(i 1,2,,n)
n
a1
i 1
x1i x1i
ap
n i 1
x pi x1i

n i 1
x1i zi

............

a0
n i 1
x pi
n
a1
i 1
x1i x pi
ap
n i 1
x pi x pi

n i 1
x pi zi
9
④用矩阵形式表示
1
趋势面拟合值为 zˆi(xi,yi ) ，则有
zi (xi , yi ) zˆi (xi , yi ) i
式中：εi即为剩余值（残差值）。 当（xi，yi）在空间上变动时，上面公式就刻画了地
理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互 动关系。 拟合趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级 数，其中最常用的是多项式函数形式。
6
3. 趋势面模型的求解
趋势面分析的核心，从实际观测值出发推算趋势 面。一般采用回归分析方法，使得残差平方和趋于 最小，即 ：
n
n
Q 2 [zi (xi , yi ) zˆi (xi , yi )]2 min
i 1
i 1
这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。
A ( X T X )1 X T Z
10
⑤ 对于二元二次多项式有
z a0 a1x a2 y a3 x 2 a4 xy a5 y 2
其正规方程组为
1

x1
1 x2

1 1
xn

1
x1 x2
y1 y2
x12 x22
x1 y1 x2 y2
y12 y22
x1 x, x2 y, x3 x2 , x4 xy, x5 y2 ,
则有：
zˆ a0 a1x1 a2 x2 a p x p
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②其残差平方和为：
n
n
Q [zi zˆi ]2 [zi (a0 a1x1i a2 x2i a p x pi )]2
实现原理：通过回归分析原理，运用最小二 乘法拟合一个二维或多维非线性函数，模拟 地理要素在空间上的分布规律，展示地理要
素在地域空间上的变化趋势。 2
3
实际地理曲面：分解为趋势面和剩余面两部 分；前者反映地理要素的宏观分布规律，属 于确定性因素作用的结果；而后者则对应于 微观局域，是随机因素影响的结果。
1 1 1 z1

x1
x2

xn


z
2



y1 x12
y2 x22

yn xn2






x1 y1 y12
x2 y2
y
2 2

xn yn yn2

zn
11
4 趋势面模型的适度性及其检验
第六章 趋势面分析
1. 趋势面分析的概念、原理 2. 趋势面模型表达 3. 趋势面模型的求解 4. 趋势面模型的适度检验 5. 趋势面应用实例
1
1. 趋势面分析的概念、原理
趋势面分析概念：利用数学曲面模拟地理系 统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数 学方法。
趋势面含义：一种抽象的数学曲面，它抽 象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使 地理要素的空间分布规律明显化。
趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直 接相关，因此对趋势面分析进行适度性检 验，是一个关系到趋势面能否在实际研究 中加以应用的关键问题，也是趋势面分析 中不可缺少的重要环节。
这可以通过以下检验来完成：
趋势面拟合适度的R2 趋势面拟合适度的显著性F检验 趋势面适度的逐次检验
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4.1 拟合度系数R2
任一个函数都可以在一个适当的范围内，用多项式 来逼近，且调整多项式的次数，可使所求的回归方 程适合实际问题的需要。
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估计趋势面模型的参数
实质： 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确定多 项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平方和最小。
过程：
① 将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归 模型。令：