普通物理学第1章习题答案13

1-8 在质点运动中，已知 x = aekt , dy/dx = -bke-kt, 当 t = 0, y=y0=b 求：质点的速度和轨道方程。
y d kt y b = 已知：x = a e b e k = t =0 dt 解： dy = b k e kt dt kt kt dt c b b e y = dy = k e + = +c
轨迹为在 x = 1 平面的一条抛物线。
1-10 一质点的运动方程为 x = 3 t +5 2 1 y = t + 3t 4 2 （1）以 t 为变量，写出位矢的表达式； （2）描绘它的轨迹； （3）式中 t 以s为单位，x、y以m为单位， 求:质点在t = 4 时的速度的大小和方向。
2 1 y = t + 3t 4 x = 3 t +5 2 1 2 (1) 解： r = ( 3 t +5 ) i + ( t + 3 t 4 ) j 2 1 2 x 5 (2) y = 2 ( 3 ) + 3 ( x 3 5 ) 4
t/s x/m 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.57 3.00 3.14 3.29 3.42
(1)画出位置对时间的曲线;
(2)求质点在1秒到3秒时间内的平均速度; (3)求质点在t =0时的位置。
解：
3.60
x/m
.
3.45
3.30 3.15 3.00 2.85 2.70
.
.
.
.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
运动学习题
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1-18 1-23 1-28
1-14
1-19 1-24
1-15
1-20 1-25
结束
习题总目录
1-1质点按一定规律沿轴作直线运动，在 不同时刻的位置如下：
(3) v1 = 4 6t = 4 6× 12 = 2 m s 2 v3 = 4 6t = 4 6× 32 = 50 m s v3 v1 ( 2) 50 a= t = 3 t1 3 1
2
= (4)
24 m s2
v d a= = 12 t = 12 × 3 dt = 36 m s2
1-3 一辆汽车沿笔直的公路行驶，速度 和时间的关系如图中折线OABCDEF所示。 (1)试说明图中OA、AB、BC、CD、 DE、EF等线段各表示什么运动？ (2)根据图中的曲线与数据，求汽车在整 个行驶过程中所走的路程、位移和平均速度。
Δ x B = 3b + 8.79 b = 1.40 b 设A的速度为: v A = kt 2b 2 Δ x A = v dt = 0 kt dt = 2kb 相遇时A与B的位移相等 ：Δ x A = Δ x B
1.40 b = 2kb
2 2
2
2
2
d vA 2 0.7 aA = m s = dt (3) 当 v A = v B 时有： 3b 1 2 2 t 25b 4 + 0.7t = 2 2 解得： t = 1.07b
m g (2 y ) = 1mv 2 2 2 m v m g cosa N = R
R = (1+ y )
3 2 2
y v o mg
N
a
y 1 a cos = 2 = 2 1+ tg a 1+ y
x
3 y 由 N = 0 得： +3y 4 = 0 2 y ( y 1)( + y + 4 ) = 0 其中 ( y 2+ y + 4)= 0 有两个虚根，不符题意。 ... y 1= 1, x = 1/2
( v + c) + t = ( v0+ c) （1） 3 v0 = b 代入（1）化简后得： 得： c = b 2 2 2 2 （2） v + 3b v + t = 4b
2 2 2
解得： v =
3b
式中取正号，对 t 求导后得： dv a= = dt 2t 25b
2
m
. ..
2wenku.baidu.comb 2
2
4t
2
4t 2
x = dx = =
( y 0 v 0t )v 0
2 2 y ( 0 v 0t )
l
dt + c
= t =0 x =
8 4t dt + c 2 9 4t +16 t 2 9 4t +16 t + c
9 4t +16 t + c = x 0 = 3
2
... c = 0
x=
9 4t +16 t
(3) v = 3 i + ( t + 3 ) j = 3 i + 7 j tg a = 7 3
a = 66.80
v = 3 2+ 7 2 = 7.61m/s
1-11 一质点沿光滑的抛物线轨道，从起 始位置（2，2）无初速地滑下，如图。问质 点将在何处离开抛物线？抛物线方程为: y2 = 2x，式中x、y以m为单位。 y v o x
2
x=
x
9 4t +16 t
2
v=
v
8 3
8 4t 2 9 4t +16 t
5
3
t
2 4.5
t
8 3
1-7.人以恒定的速率v0运动，船之初速 为0，求：任以位置船之速度加速度。 y
v
0
x
hh
r
x
r=xi
hj
y
d d r x = i v = dt dt
v
2
0
O
x
h x
r
r = r=
x +h
2
d r d x 2+ h 2 dx x = = = v 0 2 2 dt dt x + h dt 2 2 d r dx i = v 0 v = dt = dt x +h i x 2 2 2 v0 h d v x d a = = 2 i = i 3 x dt dt
1-13 如图所示，杆AB以匀角速度绕A 点转动，并带动水平杆OC上的质点M运动。 设起始时刻杆在竖直位置，OA= h 。 （1）列出质点M沿水平杆OC的运动方程； （2）求质点M沿杆OC沿动的速度和加速 度的大小。 B w x O C M h
y = y 0= 4 t = 0 dy = v0 dt y = y 0 v 0t
A
y v0
l = 5m
B
x 2 +y 2 = l 2 将此式微分得： x 2y dy + 2 x dx = 0 用 y0=4, v0= 2, y dy y dx t =1 代入，得 B 端 ( v 0) = x t= d x dt 的速度。 ( y 0 v 0t )v 0 4 0.87m/s = = = 2 2 21 l ( y 0 v 0t )
1-12 在竖直平面内，一光滑钢丝被弯成 图示曲线。质点穿在钢丝上，可沿它滑动。 已知其切向加速度为 -gsin q ， q 是曲线切向 与水平方向夹角。 试证：质点在各 y ds y d q 处的速率v与其位置 坐标 y 有如下关系： q v 2-v02 = 2g (y0-y) 式中 v0与 y0分别为 其初速度与初位置。 x
t/s
(2)质点在1秒到3秒时间内的平均速度为： 3.75-3.00 v = =0.285(m/s) 3.0-1.0
(3)由作图法可得到质点在t =0时的位置为：
x =2.71m
1-2.质点沿x 轴运动，坐标与时间的关系为： x = 4t - 2t3，式中x、t分别以m、s为单位。试 计算： （1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时 速度； （2）1s末到3s末的位移、平均速度； （3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加 a 1+ a 2 速度是否可用 a = 2 计算？ （4）3s末的瞬时速度。
解： x = 4t - 2t3 （1） Δ x = x 0 = 4t - 2t3 = 4× 2 2× 23 = 8 m 8 Δ x m s v= 4 = Δt= 2 x 2 d 2 × v= 4 4 2 t 6 6 = = = 20 m s dt （2） Δ x = x3 x2 3) (4× 1 2× 13) × × ( 4 3 2 3 = = 44 m x 44 Δ v= 22 m s = = Δt 3 1
k = 0.7
v A = kt = 0.7t
1-5 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求：（1）人影中头顶的移动速度； （2）影子长度增长的速率。
h l 解： h b l x b ( ) = = + x +b b 上式两边微分得到：
x b d d b d x b d ( ) + h l =l +l = dt dt dt dt x d 而 = v0 dt 影子长度增长速率为：
-10
v/(m.s-1)
10 20 30 40 50 60
o
-10 -10
t/s
解：由v~t 图的总面积可得到路程为： 1 (30+10)×5 + 1 (20×10) S= 2 2 =200(m)
总位移为： 1 (30+10)×5 Δx = 2
所以平均速度也为零
1 (20×10) =0 2
1-4.直线 1与圆弧 2分别表示两质点A、B 从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的 v-t 图。已知B的初速v0=b m/s,它的速率由 v0变为0所化的时间为t1= 2bs, （1）试求B在时刻 t v 的加速度； （2）设在B停止时， 1 A恰好追上B，求A的速 b 度； 2 （3）在什么时候， A、B的速度相同？ o 2b t
l v db 0 = h l dt
l b x
h
l v db 0 = h l dt 所以人影头顶移动速度为： h b = l (x + b )
. ..
h d ( x + b ) h db = l dt = h l v0 dt
1-6 长度为5m的梯子，顶端斜靠在竖直 的墙上。设 t =0 时，顶端离地面4m,当顶端 以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时，求： （1）梯子下端的运动方程；并画出x~t 图 和v~t图（设梯子下端与上端离墙角的距离 分别为 x 和 y ）。 （2）在 t =1s 时， 5m 下端的速度。 v0 4m
2
j
1-9一质点的运动方程为 r = i +4t j + t k 式中r、t分别以m、s为单位.试求： （1）它的速度与加速度； （2）它的轨迹方程。
2
解：
r d v = t = 8t j + k d x = 1 y = 4t
2
v d 8j a= = dt z =t
轨迹方程： y =4z
2
x =1
y
ds
dv g sinq = dt y d sinq = ds
q dy
ds
q
dy
q
x
dv dv ds y d g sinq = g = = d t ds d t ds v d y d v g v = d v g y d = ds ds
v0 y v v dv = y0 g dy
v 2 v02 = 2 g ( y y0)
kt
当 t =0
y
b c b = = + t =0
... c =0
kt x e a 轨迹方程： = x y =ab { y b e kt = 2 2 y d 2 2 kt dx a k e kt d x kt a e k b 2 = e k dt dt = dt =
...
a = ak
2
e kt i
+ b k e kt
(2,2)
由
y2
y = 2x两边微分得： v o
N
a
2 y dy = 2dx dy 1 a tg = = y dx 2 dy dy 1 1 dx 2 = y 2 dx = y 3
mg
x
( 1+y ´ ) R= y´ ´
2
3 2
1 )3 3 (1+ y 2 2 2 2 ) y (1+ = = 1 y3
v0 =b m/s,t1= 2bs, v0=0 v A (1)求B在时刻 t 的加速度。 v´ B 在 v ´~ t 坐标系中质点2的 b 运动方程为： v 2b 2 2 2 o t v´ + t = ( v0+ c) v ´ c o´ 因为 v´= v + c t´ 在 v ~ t 坐标系中质点2的运动方程为： 2 2 2 ( v + c) + t = ( v0+ c) （1） 当 t = 2b， v = 0 ；且 v0 =b 代入式（1） 3 得： c = b 代入式（1）得： 2
v （2）当 t = 2b 时B静止 A追上B，A的位移等于B的位移 b A B的位移： B Δ x B = v dt o 2b t 2b 3b 1 2 2) =0 ( dt + t 25b 4 2 2 2b 1 3 b.2b 2 + 0 2 25b 4t 2 dt = 2 2b 2 其中： 0 25b 4t 2 dt 4 φ 25 b 2 1 sinφ cosφ ] arc sin 5 [ + = 0 2 2 2 2 = 8.79 b