线性代数四川人民出版社

例8 证明 对角行列式
2 n

1
( 1)
n ( n1 ) 2
D
12 n
证: 若记 i ai , ni 1 , 则依行列式定义
a2 ,n1 an1 a1 n
D
( 1) n n1 21 a1na2 , n1 an1
( 1)
n ( n1 ) 2
换, 排列改变奇偶性。
证明: 相邻对换 任意对换; 比较对换元素讨论。
注意: 1) 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数; 2) 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数; 3) 标准排列是偶排列 (逆序数为0 )。
三、n 阶行列式
a11 a12 D a21 a22 a31 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33
bkp akp 即 bip a jp , b jp aip
k i, j k i, j
b1 p bip b jp bnp
1 i j
则 D1 (1)
( 1)
( 1i jn ) ( p1 pi p j pn )
n
( 1i jn ) ( p1 pi p j pn )


D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
注意: 1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。
2) 三阶行列式包括 3! 项, 且每一项都是位于不同行、
不同列的三个元素的乘积, 其中正负各三项。
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明: 1) 三阶行列式共有 6 项, 即 3 ! 项;
2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘
积, 且每项不重复的取遍所有行和列;
3) 每项的正负号都取决于三个元素的下标排列。
定义6 n 阶行列式等于所有取自不同行、不同列的 n
a1 p a jp aip anp
1 i j 1 i j
n
( 1)
( 1 jin ) ( p1 pi p j pn )
a1 p a jp aip anp
n
D
推论 如果行列式有两行 ( 列 ) 完全相同, 则此行列 式的值为零。
性质3 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有的元素都乘以
D1 12 2 1 1
14 ,
D2
3 12 2 1
21
D1 14 x1 2, D 7
D2 21 x2 3 D 7
定义2 由三行三列的数表所确定的表达式称为三阶 行列式, 记
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
定义4 在 n 级排列中, 规定由小到大为一个标准次序, 若两个元素与标准次序不同则构成一个逆序。排列 中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列。 例4 求排列 32514 的逆序数。 解: 在排列32514中, 3 排在首位, 逆序数为 0 ;
经济数学基础
第 三章
行 列 式
n 阶行列式
行列式的性质 行列式的行(列)展开
Gramer 法 则
重点: 行列式的性质、行列式的展开（计算）
难点: 行列式的展开、Gramer 法则
§3.1 n 阶 行 列 式
一、行列式的引入
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2 (1) (2)
a11 a12 a11a22 a12a21 称为二阶行列式, 记为 。 a21 a22
a11 a12 a11a22 a12a21 即主对角线法则 a21 a22
若记
a11 a12 D , a21 a22 b1 a12 D1 , b2 a22 a11 b1 D2 a21 b2
则二元线性方程组的解为
个数的乘积的代数和, 即
a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n ( q q q ) D ( 1) a1q a2 q anq q q q an1 an 2 ann
1 2 n 1 2 1 2 n
n
其中 q1q2 qn 为自然数 1, 2, … n 的一个排列,
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 T D a1 n a2 n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。
T D det( a ), D det( bij ) 证明: 记 ij
则 bij aij (i , j 1,2,, n)
1 2 n 1 2 n
推论2 行列式定义中每一项的乘积元素可按行或列 标确定标进行重排: 不改变符号。
a21a13a44a32 a13a21a32a44
§1.2 行 列 式 的 性 质
a11 a12 a21 a22 记 D an1 an 2
a1 n a2 n , ann
n1
t 0 1 2 ( n 2) ( n 1)
n( n 1) 2
当 n 4k , 4k 1 时, 原排列为偶排列;
当 n 4k 2 , 4k 3 时, 原排列为奇排列。
定义5 在排列中, 将任意两个元素位置互换, 其余元
素位置不变, 这种变换称为对换。 将相邻两个元素对换, 称为相邻对换。 定理1 任意一个排列中的任意两个元素经过一次对
解: D
q1q2 ... qn
( q q ... q ) ( 1 ) a1q a2 q ... anq
1 2 n 1 2
n
qn n , qn1 n 1 , q2 2 , q1 1
所以不为零的项只有 a11a22 ann
D (1) (12... n ) a11a22 ann a11a22 ann .
(1) a22 : a11a22 x1 a12 a22 x2 b1a22 ( 2) a12 : a12 a21 x1 a12 a22 x2 b2a12
两式相减消去 x2 , 得
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2
类似地消去 x1 , 得
DT ( 1) b1 p b2 p bnp ( 1) a p 1a p 2 a p n
1 2 n 1 2 n
( 1) a1 p a2 p anp
1 2
n
即 DT D 。 注意: 行列式中行与列具有同等的地位, 即行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立。 性质2 互换行列式的两行 ( 列 ) , 行列式的值反号。 证明: 设互换 D det(aij ) 的 i, j 行, 得 D1 det(bij )
(a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
当 a11a22 a12a21 0 时, 方程组的解为
b1a22 a12 b2 x1 , a11a22 a12 a21
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12 a21
a11 a12 定义1 由四个数排成的数表 所确定的表达式 a21 a22
1 2 n
1
2
n
例6 确定下列行列式中的项的符号。 解: 1) a13a21a32 : (1) ( 312 ) (1)11 1 :

2) a12a23a34a41 : (1) ( 2341 ) (1)0003 1 :

a11 a12 a1 n 0 a22 a2 n 例7 计算 上三角行列式 D 0 0 ann
x2
或
x3
x1 2 x2 x3 2 例3 解线性方程组 2 x1 x2 3 x3 1 x1 x2 x3 0
解: 由于方程组的系数行列式
1 D 2 1
2 1 1
1 3 1
1 1 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) 1 2 1
D1 , 则方程组的解为: x1 D D2 x2 , D D3 x3 D
1 1 例2 求解方程 2 3 4 9
1 x 0。 x2
解: 方程左端的行列式, 由对角线法则
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12 x2 5 x 6
即 x 2 5 x 6 0 , 解得
2 的前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为1 ;
5 的前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0 …… 3 2
1
5
1
4
1
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0
0
3
排列 32514 的逆序数 t 0 1 0 3 1 5
例5 求排列 n(n-1)…321 的逆序数, 并讨论奇偶性。 解: 由于 n( n 1)( n 2) 321
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
a11 a12 a13 系数行列式 D a21 a22 a23 0 a31 a32 a33
3 x 故 的系数为 - 1 。
定理 2 n 阶行列式也可定义为
Dn ( 1)
( p1 p2 pn ) ( q1q2qn )
a p q a p q a p q
1 1 2 2
n n
推论1 若列标确定, 行列式等于
Dn ( 1) ( p p p )a p 1a p 2 a p n
D1 x1 1, D D2 x2 2, D D3 x3 1 D
二、排列及逆序数
定义3 将 n 个不同的元素组成一个有序数组, 称为 这 n 个元素的一个 n 级排列。
n 级排列的总数:
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n !
D1 b1a22 a12b2 x1 , D a11a22 a12a21
D2 a11b2 b1a21 x2 D a11a22 a12 a21
例1 解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12 2 x1 x2 1
3 2 3 1 2 ( 2) 7 0 解: D 2 1
(q1q2 qn ) 为其逆序数。
简记为 det( aij ) 或 | aij | 。
说明: 1) 行列式是一种特定的算式: 解线性方程组;
2) n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3) 每项都是位于不同行不同列 n 个元素的乘积; 4) 一阶行列式 | a | a , 不同于绝对值;
( q q q ) a a a ( 1 ) 。 5) 行标确定: 1q 2 q nq 的符号为
1 1 ( 1) ( 2) 2 ( 1) 1 ( 3) 1
5 0
1 2 1 即 D 2 1 3 5 1 1 1
同理可得
2 2 1 D1 1 1 3 5 , 0 1 1
D2 10 , D3 5
方程组的解为:
12 n
x 1 例9 已知 f ( x ) 3 1
1 1 2 x 1 1 , 求 x 3 的系数。 2 x 1 1 2x 1
解: 含 x 3 的项有两项之和, 即
(1) (1234 ) a11a22a33a44 x x x 1 x 3 ( 1) (1243 ) a11a22a34a43 x x 1 2 x 2 x 3
数 k , 等于用数 k 乘此行列式。
a11 a12 a1 n a11 a12 a1 n kai 1 kai 2 kain k ai 1 ai 2 ain an1 an 2 ann an1 an 2 ann