线性回归方程的求法
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模 分 析 拟
y = f(x)
y = f(x)
现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关 两个变量的关系
函数关系 相关 关系
线性相关 非线性相关
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
称为样本点的中心。
2、回归直线方程： ˆ +a ˆ ˆ = bx （1）所求直线方程 y
叫做回归直线方程；
其中
ˆ= b
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y
i i=1 n
n
i
- nxy
2
(x
i=1
n
x
i=1
,
2 i
- nx
ˆ ˆ = y - bx a
（2）相应的直线叫做回归直线。 （3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一
定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行
统计分析的方法叫回归分析。
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。 根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。 一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
ˆ ˆ y bx a 性回归方程
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值： 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 ）
小结：求回归直线方程的步骤
500
y
水稻产量
450
400 |yi - yi | 350 300 10
n
· · ··
(xi ,yi )
· · ·
20
(xi ,yi )
怎样Байду номын сангаас回归直线？
施化肥量
30 40 50
x
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值.
i=1
ˆ ˆ 最小二乘法： y ˆ = bx+a
n (xi -x)(yi -y) b= ˆ i=1 = n 2 (xi -x) i=1 ˆ a=y-bx. ˆ
x y
i=1 n
n
i i 2
- nxy - nx
2
x
i=1
,
i
1 n 1 n 其中x = y= xi, yi. n i=1 n i=1
(x,y)
2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数 3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。
例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y (吨标准 煤)的几组对应数据。
X y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
(1)请画出上表数据的散点图 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的
ˆ ˆ = y - bx a
（3）根据回归方程，并按要求进行预测说明。
相关系数
• 1.计算公式
r=
(x
i=1 n i=1
n
i
- x)(yi - y)
n
2 2 (x x) (y y) i i i=1
• 2．相关系数的性质 • (1)|r|≤1． • (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接 近于0，相关程度越小． • 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它 们的相关程度怎样呢？
（注意回归直线一定经过样本点的中心）
例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万 元)有如下的统计数据：
x Y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求： 1.回归直线方程 2.估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解题步骤： 1.作散点图
（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分 布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。 （2）所求直线方程
ˆ +a ˆ ˆ = bx y
叫做回归直线方程；
其中
ˆ= b
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y
i i=1 n
n
i
- nxy
2
(x
i=1
n
x
i=1
,
2 i
- nx
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
405 445
450 455
散点图
水稻产量
··
20
·
·
· · ·
施化肥量
30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？ 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
负相关
正相关
n (xi -x)(yi -y) i=1 r= n n 2× (y -y)2 (x -x) i i i=1 i=1 ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
相关系数
第一章 统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
（第二课时）
a. 比《数学3》中“回归”增加的内 选修１-２——统计案例 容 数学３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y＝bx＋a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 5. 引入线性回归模型 y＝bx＋a＋e 6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系
简 单 随 机 抽 样
分 层 抽 样
系 统 抽 样
用样本 的频率 分布估 计总体 分布
用样本 数字特 征估计 总体数 字特征
线 性 回 归 分 析
统计的基本思想
实际 抽 样
样本
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关 两个变量的关系
函数关系 相关 关系
线性相关 非线性相关
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
称为样本点的中心。
2、回归直线方程： ˆ +a ˆ ˆ = bx （1）所求直线方程 y
叫做回归直线方程；
其中
ˆ= b
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y
i i=1 n
n
i
- nxy
2
(x
i=1
n
x
i=1
,
2 i
- nx
ˆ ˆ = y - bx a
（2）相应的直线叫做回归直线。 （3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一
定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行
统计分析的方法叫回归分析。
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。 根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。 一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
ˆ ˆ y bx a 性回归方程
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值： 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 ）
小结：求回归直线方程的步骤
500
y
水稻产量
450
400 |yi - yi | 350 300 10
n
· · ··
(xi ,yi )
· · ·
20
(xi ,yi )
怎样Байду номын сангаас回归直线？
施化肥量
30 40 50
x
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值.
i=1
ˆ ˆ 最小二乘法： y ˆ = bx+a
n (xi -x)(yi -y) b= ˆ i=1 = n 2 (xi -x) i=1 ˆ a=y-bx. ˆ
x y
i=1 n
n
i i 2
- nxy - nx
2
x
i=1
,
i
1 n 1 n 其中x = y= xi, yi. n i=1 n i=1
(x,y)
2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数 3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。
例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y (吨标准 煤)的几组对应数据。
X y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
(1)请画出上表数据的散点图 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的
ˆ ˆ = y - bx a
（3）根据回归方程，并按要求进行预测说明。
相关系数
• 1.计算公式
r=
(x
i=1 n i=1
n
i
- x)(yi - y)
n
2 2 (x x) (y y) i i i=1
• 2．相关系数的性质 • (1)|r|≤1． • (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接 近于0，相关程度越小． • 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它 们的相关程度怎样呢？
（注意回归直线一定经过样本点的中心）
例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万 元)有如下的统计数据：
x Y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求： 1.回归直线方程 2.估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解题步骤： 1.作散点图
（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分 布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。 （2）所求直线方程
ˆ +a ˆ ˆ = bx y
叫做回归直线方程；
其中
ˆ= b
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y
i i=1 n
n
i
- nxy
2
(x
i=1
n
x
i=1
,
2 i
- nx
施化肥量x 15
20
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35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
405 445
450 455
散点图
水稻产量
··
20
·
·
· · ·
施化肥量
30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？ 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
负相关
正相关
n (xi -x)(yi -y) i=1 r= n n 2× (y -y)2 (x -x) i i i=1 i=1 ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
相关系数
第一章 统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
（第二课时）
a. 比《数学3》中“回归”增加的内 选修１-２——统计案例 容 数学３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y＝bx＋a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 5. 引入线性回归模型 y＝bx＋a＋e 6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系
简 单 随 机 抽 样
分 层 抽 样
系 统 抽 样
用样本 的频率 分布估 计总体 分布
用样本 数字特 征估计 总体数 字特征
线 性 回 归 分 析
统计的基本思想
实际 抽 样
样本
y = f(x)