101中学坑班2012年暑期五升六第六讲不定方程问题

101中学坑班2012年暑期五升六第六讲不定方程问题

一、知识要点

1、理解不定方程的概念：

我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组

等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定

方程组．

2、掌握求不定方程的整数解问题；

通常不定方程（组）问题有三种类型：①判断不定方程（组）是否有解；②求不定方程（组）的解；③计算不定方程（组）的解的个数。

对于不定方程的解法，主要利用同余的性质来求解，解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．

3、能根据实际问题及要求解决不定方程求解．

不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．

二、典型例题

例1. 判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解。

（1）3459x y +=； （2）1012031419x y +=；（3）；17324917x y +=

（4）492102101101x y +=

例2. 求不定方程2x +3y +5z =15的正整数解。

例3. 在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个? 例4. 有纸币60张，它们的面值为1分、l 角、1元和10元，各有若干张．问这些纸币的

总面值是否能够恰好是100元?

例5. 采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物 若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?

例6. 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．

例7. (1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?

例8. 有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

例9. 李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是多少元.

例10. 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?

例11. 小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?

例12. 小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔

5537115=+∆ ☆ 贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?

例13. 三个连续自然数a b c <<，都小于1001，已知a 是15的倍数，b 是17的倍数，c 是7的倍数，则c =

例14. 某市电话号码原为六位数。第一次升位是在首位和第二位数字之间加上3成为一个七位数，第二次升位是在首位数字前加上2成为一个八位数。某人家中的电话号码升位后的八位数恰好为原来的六位数的电话号码的33倍，那么原来的电话号码是________。

例15. 5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?

三、练习题 1、已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,则△+☆= .

2、 箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.

3、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.

4、不定方程23732=++z y x 的非零自然数解是 .

5、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后三位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .

6、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a

.已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .

7、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的

41和全部咖啡(若干碗)的6

1.那么,全家有 口人. 8、某单位职工到郊外植树,其中3

1的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.

9、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.

———————————————答 案——————————————————————

1. 5. 依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.

2. 260. 设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915

%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.

将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).

3. 11. 设共分为x 组.由树苗总数可列方程2029+=-nx x 22)9(=-x n

因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).