第3章 动态规划(1-例子)

总共有五种完全加括号的方式
( A(( BC ) D )) ((( AB )C ) D )
( A( B (CD ))) (( A( BC )) D )
Baidu Nhomakorabea
(( AB )(CD ))
16000, 10500, 36000, 87500, 34500
1
完全加括号的矩阵连乘积

再看一例子：
A1:10×100, A2:100×5, A3:5×50
k 的位置只有 j i 种可能
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计算最优值

对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j)对应于不同的子问 题。因此，不同子问题的个数最多只有


由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多 次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著 特征。 用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向 上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子 问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时 只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得 到多项式时间的算法。
矩阵连乘问题
小课堂
什么样的计数值是Catalan数，如下例子： 有n+1个矩阵连乘的加括弧的方式数 有n+1个叶节点的二叉树共有多少种形状？例如4个叶节点：
将一个凸n边形区域分成三角形区域的方法数? 例如6边形分 割：
6
矩阵连乘问题
小课堂
在n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线 的路径数，例如4×4地图中的路径有：
S[2,5]=3
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用动态规划法求最优解 ---- s数组的作用
算法MatrixChain只计算出了最优值，但未给出最优 解。也就是说，通过算法MatrixChain的计算，只知道 了用多少次数乘次数是最少的，但还不知道具体应该按 照什么次序做矩阵的乘法才能达到最少数乘次数。 算法MatrixChain过程中已经记录了构造最优解所需 的全部信息。即S[i][j]中记录的值k表明矩阵链A[i:j] 的最佳方式（即最优解）为(A[i:k])(A[k+1:j])。
A1 3035 A2 3515 A3 155 A4 A5 A6 510 1020 2025

最优计算次序为：(A1(A2A3))((A4A5)A6) 若：A1A2A3的最优次序是：A1(A2A3) 或若A4A5A6的最优次序是：(A4A5)A6
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建立递归关系

设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]， 则原问题的最优值为m[1,n] 当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n 当i<j时，
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用动态规划法求最优解 ---- 实例、填充方法
例：P= <30, 35, 15, 5, 10, 20, 25>
A1 3035 A2 3515 A3 155 A4 510 A5 A6 1020 2025
最终结果： m[1,6] =15125 S[1,6] = 3 (A1A2A3)(A4A5A6) S[1,3] = 1 (A1)(A2A3) S[4,6] = 5 (A4A5)(A6)
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n 2 n ( n ) 2
计算最优值
在递归计算时，许多子问题被重复计算多次
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方法一：递归算法求解
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递归算法复杂性
看出：递归算法的计算时间随着n指数增长为下 界，即(2n)。
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递归算法复杂性
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方法二：用动态规划法求最优解 ---- 算法
void MatrixChain(int *p，int n，int **m，int **s) { for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0; for (int r = 2; r <= n; r++) for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) { int j=i+r-1; m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i; for (int k = i+1; k < j; k++) { int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;} } } }
1 n 1 n1 P(n) P(k)P(nk) P(n) (4n / n3/ 2) n 1 k1
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矩阵连乘问题
小课堂
对于n个矩阵连乘积的不同计算次序数P(n)，P(n)是 Catalan数。 Catalan数很神奇，常出现在组合数学中各种计数 问题。 其n阶递推关系： h(0)=1,h(1)=1,h(n)=h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2) 递推关系解的一般公式：C(2n,n)/(n+1) 前几项：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …… 5
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用动态规划法求最优解 ---- 实例、填充方法
例：P= <30, 35, 15, 5, 10, 20, 25>
A1 3035 A2 3515 A3 155 A4 510 A5 A6 1020 2025
m[2][2] m[3][5] p1 p 2 p5 0 2500 35 15 20 13000 m[2][5] min m[2][3] m[4][5] p1 p3 p5 2625 1000 35 5 20 7125 m[2][4] m[5][5] p p p 4375 0 35 10 20 11375 1 4 5
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方法二：用动态规划法求最优解 ---- 算法
算法复杂度分析： 算法matrixChain的主要计算量取决于算 法中对r，i和k的3重循环。循环体内的计 算量为O(1)，而3重循环的总次数为 O(n3)。 因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所 占用的空间显然为O(n2)。
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用动态规划法求最优解 ---- 子问题计算顺序
简言之：为了确定加括号的次序，设计一个表s[i, j] 来记录求 得最优时最后一次运算的位置。
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用动态规划法求最优解 ---- s数组的作用
因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加 括号方式为：(A[1 : s[1][n]])(A[s[1][n]+1 : n]) 如：根据s[i][j]的记录，可以计算A[1:6]的最优加括号 方式： (A1A2A3)(A4A5A6) s[1][n]=3 (A1(A2A3))((A4A5)A6) s[1][3]=1, s[4][6]=5 (A1(A2A3))((A4A5)A6) s[2][3]=2, s[4][5]=4
完全加括号的矩阵连乘积

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积 A 是完全加括号的，则 A 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 B 和 C 的乘积并加括号，即 A ( BC )

设有四个矩阵 A, B, C , D ，它们的维数分别是：
A 50 10 B 10 40 C 40 30 D 30 5
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两种算法的比较
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相似问题的扩展
思考：
（1）一行的石子合并 有n堆石子形成一行(a1,a2,…,an，ai为第i堆石子个 数)，相邻两堆可合并，合并的分值为新堆的石子数。 求合并为一堆的最低得分(或最高得分也同理)。 （2）一圈的石子合并 和前述思考题(1)类似，但n堆石子是围成一圈，求合 并为一堆的最低得分(或最高得分)。
m[i , j ] m[i , k ] m[k 1, j ] pi 1 pk p j

可以递归地定义m[i,j]为：
这里 Ai 的维数为 pi 1 pi
0 i j m[i, j ] min{m[i, k ] m[k 1, j ] pi 1 pk p j } i j i k j
思考：
（2）一圈的石子合并
原问题所求的最小得分是m[1,n], m[2,n+1], …, m[n,2n-1]中的最小值，即：min{m[i, n i 1]}
1 i n
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动态规划算法的基本要素
一、最优子结构
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相似问题的扩展
思考：
（1）一行的石子合并 假设m[i,j]为合并石子Ai…Aj, 1≤i≤j≤n，所 得到的最小得分，若没有“合并”这个动作，则为 0。原问题所求的最优值即为m[1,n]。
i j 0 j m[i, j] min{m[i, k ] m[k 1, j ]} a[t ] i j t i ik j
进栈序列为1,2,3,..n(栈无穷大)有多少种不同的出栈序列? 在圆上选择2n个人,两两握手，但无交叉的方案数。 n对括号(左括号和右括号)有多少种匹配方式？ 在《Enumerative Combinatorics》一书中，竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。
7
矩阵连乘问题
穷举法 动态规划 将矩阵连乘积 Ai Ai 1... A j 简记为A[i:j] ，这里i≤j 考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全 加括号方式为 ( Ai Ai 1... Ak )( Ak 1 Ak 2 ... A j ) 计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。
乘法次序 (A1A2)A3: 10 × 100 × 5 + 10 ×5 × 50 = 7500 A1(A2A3): 10 × 100 × 50 + 100 × 5 × 50 = 75000
2
矩阵连乘问题

给定n个矩阵 { A1 , A2 ,..., An } ， 其中Ai 与 Ai 1 是可乘 的， i 1,2,..., n 1 。考察这n个矩阵的连乘积
填充m[i,j]即可得到任意行状摆放的石子合并的最 小得分。 25
相似问题的扩展
思考：
（2）一圈的石子合并 先将圆圈排列的石头直线化：
在这个直线化的行状排列的石头堆中进行合并，并 且合并的石头链长不超过n。 假设m[i,j]为合并石子Ai…Aj, 1≤i≤j≤2n-1，所 得到的最小得分。
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相似问题的扩展
A1 A2 ... An


由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以 有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号 的方式来确定。 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该 连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩 阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
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矩阵连乘问题
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的， i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得 依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计 算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的 计算次序。 算法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
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分析最优解的结构

假设A[ i : k ]不是最优，可用最优的 替换原来计算次序，得到A[ i : j ]更 好的次序。矛盾
特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子 链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题 的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题 的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求 解的显著特征。