笔算开立方和N次方

今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。

当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。

因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。

在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。

它是这么写的：
在这里，我“定义”a^b=a的b次方。

(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)
a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。

在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。

然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。

因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。

(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2
笔算开立方
一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。

我没带
计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。

这促使我寻求笔算开立方的方法。

笔算开平方的方法我是掌握的。

我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一
组；
2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；
3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右
边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试
商。

再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所
得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若
大于，就减小试商再试。

5．用同样方法继续进行下去。

类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。

关键是第4步如何进行。

当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。

于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。

我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。

那么我有必要分析笔算开平方的本质。

以两位数ab为例，2ab= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。

这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。

事实上，100a2已在第3步里被减去了。

那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。

这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。

同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。

类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。

那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3 步所得余数减去它们的和。

举几个简单的例子验证一下：
(300=12×300×1 (600=12×300×2 (1200=22×300×1)
30=1×30×12120=1×30×22 60=2×30×12
1=13) 8=23) 1=13)
为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了310的近似值,并与计算器的结果进行比照:
(为了书写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。

)
用这种方法算出10的立方根约等于2.1544，而计算器的结果是2.1544347，这说明求出的结果是正确的。

现将笔算开立方的方法总结如下：
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为
一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边
写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，
得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试
商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和
试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，
若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方
根的第二位数；
5．用同样方法继续进行下去。

这种方法肯定早就有人发明了。

其运算量相当大，实用价值也不高。

但我毕竟是独立地发现了它。

虽然欣喜无法与发现新大陆相比，但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。

此后不久，我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用──期中考试物理试卷中有这样一道题：“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟，地球半径约是6370㎞，求飞船的轨道高度（以km为单位，保留两个有效数字）。

这道题并不难。

根据所学知识，我很快就列出方程，并求出了结果的表达式。

经过近似计算和约分、化简，结果大约是(10003300-6370)㎞。

我想大多数同学能够算到这里，而对于3300就束手无策了。

但它难不倒我。

我运用了笔算开立方的方法。

由于法则是自己总结的，所以记得很牢，用起来也得心应手。

很快，我求出3300≈6.7，最终结果约是3.3×102㎞。

严格地说，这个答案是不可靠的。

要保证最终结果的第二个有效数字准确，应该把3300计算到百分位。

但因时间有限，且300这个数本身就是不准确的，
我只好这样写。

后来我看到答案，知道我的结果是正确的。

我感到高兴，因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。

我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。

但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题，除此之外，别的意义很是寥寥。

换言之，这种方法仅是雕虫小技而已。

然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法，或许将有更大的意义──因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。

举例说明: 17开立方.首先求17以内的最大立方数为2^3=8,1 7-8=9,在9的后面加上三个0,9000
在9000范围内,设立方根的第二位是A,则用2A*A*2*30+A^3,此算式不>9000,A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=13 75,在1375后面加上三个0来求立方根的第三位,
设第三位是B,则用25B*25*B*30+B^3,则B=7,及1375000-13 49593=25407,依此类推,求第四位的算式是257C*257*C*30+ C^3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前四位是2.571。

2571D*2571*D*30+D^3,D=2
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徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b 取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b, 条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,
即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234 第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,
即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即: b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段
=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................
最后结果为:18.724......
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开立方
百科名片
求一个数的立方根的运算法，叫做开立方。

最早在我国的九章算术中有对开立方的记载。

笔算开立方的方法
方法一
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
5．用同样方法继续进行下去。

方法二
第1、2步同上。

第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；
第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。

然后重复第3、4步，直到除尽。

编辑本段开方算法的历史记载
九章算术
《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。

开立方原文
开立方
〔立方适等，求其一面也。

〕
术曰：置积为实。

借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。

〕
议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。

以上议命而除之，则立方等也。

〕除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。

〕
复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。

开平幂者，
方百之面十；开立幂者，方千之面十。

据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，
折下一等也。

〕
以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。

〕
复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。

立方等未有定数，且置一算定其位。

〕
步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，
故又降一等也。

〕
复置议，以一乘中，
〔为三廉备幂也。

〕
再乘下，
〔令隅自乘，为方幂也。

〕
皆副以加定法。

以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。

〕
除已，倍下，并中，从定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅
连于三廉之端，以待复除也。

言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。

〕
复除，折下如前。

开之不尽者，亦为不可开。

〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。

〕[1]
编辑本段手算开根号原理
方法
1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。

2、首位a根用1～9内n方诀直接确定，【随后就无a 根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b根用“标准
固律方程式”或“简易求b方程式”求。

原理
正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。

因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。

】
逆向开方时：m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；
如二次方的s=2ab；
三次方的s=3abD【D=a+b】
五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。

】
其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。

即：bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。

例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab （a+b）= m=a3+b3+3abD【D=a+b】
所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。

特说明。

〗
其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三
次方原理实用式记法。

但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。

因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab （a+b）=m= a3+b3+3abD【D=a+b】，
而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。

也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。

注意
m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab 就是二次方的S；所以二次方都会解！
而：
m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+ 3ab（a+b）= a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是
三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！
又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=
a5+b5+5abD(D2-ab)
五次方的S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。

而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。

在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。

开立方公式
设A = X^3，求X。

这称为开立方。

开立方有一个标准的公式：
X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）
例如，A=5，即求
5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。

例如我们取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。

即5/1.9× 1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。

即取2位数值，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。

取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099 这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。

即5=1.7099^3;
当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。

当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。

1.5+（5/1.5&sup2;-1.5）1/3=1.7。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。

即X(n + 1) = Xn + (A / Xn −Xn)1 / 2.
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方之间。

我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中
间值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。

取3位数。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
每一步多取一位数。

这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

5次方公式
这里顺便提一下5次方公式。

X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)1/5 . (n，n+1是下角标）
例如：A=5;
5介入1的5次方至2的5次方之间。

2的5次方是32，5靠近1的5次方。

初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。

例如我们取中间值1.4；
1.4+（5/1.4^4-1.4)1/5=1.38
1.38+（5/1.38^4-1.38)1/5=1.379
1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797
计算次数与精确度成为正比。

即5=1.3797^5。

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立方表在没有计算机之前出现的时候，相对于手算开方，人们多用两种方法：
一种是牛顿迭代法，比如方程x^3－a＝0，先有一个x1和x2，其中x1^3-a<0，x2^3-a>0，在图像上把x1和x3两个点相连，和x轴有个交点，记为x3，那么x3相对于x1和x2接近所求的值，然后再连接x3和x2……这样下去迭代4～6次之后可以得到所要的精度，只需要乘法和触法的运算
另外一种方法是用多项式近似的方式，当求得一个数a的开三次方的时候，比a多一个小量x的开方
（a＋x）^1/3≈（a^1/3）（1＋x/3a），实际上使用更精确的公式来计算。