【高中数学必修三】1.3.2秦九韶算法
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vn vn1 x a0
v0 an v k v k 1 x an k ( k 1, 2, , n)
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个 一次多项式的值的方法,称为秦九韶算法
例2 已知一个五次多项式为
f ( x ) 5 x 5 2 x 4 3.5 x 3 2.6 x 2 1.7 x 0.8
显然，采用第二种算法，计算机能够更快地得到结果。
那么，有没有更有效的算法呢？
《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的一元多项式
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n 2 a1 ) x a0 ((an x n 2 an1 x n 3 a2 ) x a1 ) x a0 ( (an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2： = 3906
10次的乘法运算,5次的加法运算
4次的乘法运算,5次的加法运算 ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2· x、 （ x2· x） · x、（ （ x2· x） · x） · x的值。
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法1： 因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以,x = 5时，多项式的值为17255.2
v0 an v k v k 1 x an k 练习：教材P48、 2 ( k 1, 2,后阅读教材38页，理解并能识别秦九韶 算法的程序。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的流程图及程序
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值. 解： 按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v2 27 5 3.5 138.5 v0 5 v1 5 5 2 27 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v3 138.5 5 2.6 689.9 v5 3451.2 5 0.8 17255.2
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
算法二：先计算x2的值，然后依次计算
x2· x、（ x2· x） · x、（ （ x2· x） · x） · x
的值
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值 算法2： ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
省略了若干 个半括号 省略了若干项
f ( x ) ( (an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1 an x an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an 2 v 3 v 2 x an 3
1.3.2 案例2、秦九韶算法
复习
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ 和（ ）.
）
辗转相除法
更相减损术 A
） D、2706
2、两个数21672，8127的最大公约数是（ A、2709 B、2606 C、2703
案例2、秦九韶算法
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
v0 an v k v k 1 x an k ( k 1, 2, , n)
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个 一次多项式的值的方法,称为秦九韶算法
例2 已知一个五次多项式为
f ( x ) 5 x 5 2 x 4 3.5 x 3 2.6 x 2 1.7 x 0.8
显然，采用第二种算法，计算机能够更快地得到结果。
那么，有没有更有效的算法呢？
《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的一元多项式
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n 2 a1 ) x a0 ((an x n 2 an1 x n 3 a2 ) x a1 ) x a0 ( (an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2： = 3906
10次的乘法运算,5次的加法运算
4次的乘法运算,5次的加法运算 ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2· x、 （ x2· x） · x、（ （ x2· x） · x） · x的值。
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法1： 因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以,x = 5时，多项式的值为17255.2
v0 an v k v k 1 x an k 练习：教材P48、 2 ( k 1, 2,后阅读教材38页，理解并能识别秦九韶 算法的程序。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的流程图及程序
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值. 解： 按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v2 27 5 3.5 138.5 v0 5 v1 5 5 2 27 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v3 138.5 5 2.6 689.9 v5 3451.2 5 0.8 17255.2
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
算法二：先计算x2的值，然后依次计算
x2· x、（ x2· x） · x、（ （ x2· x） · x） · x
的值
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值 算法2： ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
省略了若干 个半括号 省略了若干项
f ( x ) ( (an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1 an x an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an 2 v 3 v 2 x an 3
1.3.2 案例2、秦九韶算法
复习
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ 和（ ）.
）
辗转相除法
更相减损术 A
） D、2706
2、两个数21672，8127的最大公约数是（ A、2709 B、2606 C、2703
案例2、秦九韶算法
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？