【步步高】(浙江专用)2017年高考数学-专题三-三角函数-第25练-三角函数的综合应用练习

【步步高】(浙江专用)2017年高考数学-专题三-三角函数-第25练-三角函数的综合应用练习

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题三三角函数第25练

三角函数的综合应用练习

1．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2

≤φ<π

2

)的图象关于直线x＝

π

3

对称，且图象上

(2)求函数y＝2sin2B＋cos(C－3B

2

)取最大值时，

B的大小．

3．已知函数f(x)＝sin(x－π

6

)＋cos(x－

π

3

)，

g(x)＝2sin2x 2 .

(1)若α是第一象限角，且f(α)＝33

5

，求g(α)

的值；

(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．

4．(2016·襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆

州中学四校联考)已知函数f(x)＝a·b＋1

2

，其中

a＝(3sin x－cos x，－1)，b＝(cos x,1)．

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；

(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若sin(A＋C)＝2sin A，求a、b的值．

答案解析

1．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，

所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π

T

＝

2.

又因为f (x )的图象关于直线x ＝π

3对称，

所以2·π3＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z.

由－π2≤φ<π

2得k ＝0，

所以φ＝π2－2π3＝－π6

.

(2)由(1)得f (α2)＝3·sin(2·α2－π

6)＝3

4，

所以sin(α－π6)＝1

4.

由π6<α<2π3得0<α－π6<π

2

，

所以cos(α－π

6

)＝

1－sin 2

(α－π

6

)＝

1－(14)2

＝154

.

因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π

6)＋

π

6

] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π

6

＝14×32＋154×12＝3＋15

8. 2．解 (1)∵p 与q 是共线向量，

∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin

A －cos A )＝0，

∴sin 2

A ＝34，sin A ＝32

，

∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.

(2)y＝2sin2B＋cos(C－3B 2

)

＝2sin2B＋cos(180°－B－A－3B

2

)

＝2sin2B＋cos(2B－60°)

＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)

＝1－cos 2B＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°

＝1－1

2

cos 2B＋

3

2

sin 2B

＝1＋sin(2B－30°)，

当函数取最大值2时，2B－30°＝90°，即B＝60°.

3．解f(x)＝sin(x－π

6

)＋cos(x－

π

3

)

＝

3

2

sin x－

1

2

cos x＋

1

2

cos x＋

3

2

sin x

＝3sin x，

g(x)＝2sin2x

2

＝1－cos x.

(1)由f (α)＝335得sin α＝3

5.

又α是第一象限角，所以cos α>0.

从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2

α＝1－

4

5

＝15

. (2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin(x ＋π6)≥1

2

.

从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π

6，k ∈Z ，

即2k π≤x ≤2k π＋2π

3

，k ∈Z.

故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π

3

，k ∈Z}．

4．解 (1)依题意：m ＋n ＝(cos A －sin A ＋2，cos A ＋sin A )，

因为|m ＋n |＝2，

所以(cos A －sin A ＋2)2＋(cos A ＋sin A )2＝4， 化简得：sin A ＝cos A ⇒tan A ＝1，

故有A ＝π4

. (2)依题意，在△ABC 中，由正弦定理

a sin A ＝2R

＝4，

所以a ＝22，

由余弦定理可得：a 2＝b 2＋c 2－2b ·c ·cos A ， 化简得：c 2－22c －4＝0，解得c ＝2＋6(负值舍去)．

5．解 (1)f (x )＝a ·b ＋12

＝3sin x cos x －cos 2x －1＋12 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )－12