1-9第一章习题课PPT课件

ex 1～ x ; a x 1～ x ln a ; (1 x) 1～ x ;
4. 两个重要极限 5. 求极限的基本方法
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三、 连续与间断
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
1 x
n
求极限
lim
n
(1
x)(1
x2
xn )(1
x3
) (1
xn
)
,0
x
1
3. 求下列极限：
(1) lim (sin x 1 sin x)
x
(2)
lim
x1
1 x2
sin x
提示: (1) sin x 1 sin x
2sin x 1 x cos x 1 x
2
2
2sin
1
cos x 1 x
原式 lim (1 x)(1 x)(1 x 2 )(1 x4 )(1 x 2n )
n
1 x
lim (1 x 2 )(1 x 2 )(1 x4 )(1 x 2n )
n
1 x
lim (1 x 2n )(1 x 2n ) lim 1 x 2n1
n
1 x
n 1 x
1 . (当 x 1时, lim x 2n1 0.)
2( x 1 x)
2
无穷小
有界
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(2) lim 1x2
x1 sin x 令t x 1
lim t(t2) t0 sin (t1)
lim
t0
t(t2)
sin t
lim t(t2) 2
t0 t
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4
求
lim(1
tan
x
)
1 x3
2. 函数间断点
第一类间断点
可去间断点 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
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3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
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1. 设 f (x) ex2 , f [ (x)] 1 x , 且 (x) 0, 求 (x)
.
x0 1 sin x
原式
lim[1
(1
tan
Leabharlann Baidu
x
1
1)]x3
x0
1 sin x
lim[1
tan
x
sin
x
1
]x3
x0
1 sin x
lim tan x sin x0 1 sin x
x
1 x3
lim sin x(1 cos x) x0 (1 sin x)cos x
1 x3
lim
x0
sin x
x
1
cos x2
x
(1
1 sin x
)
cos
x
1 2
1
原式 e 2 .
5. 确定常数 a , b , 使 lim (3 1 x3 a x b) 0
x
解:
原式
lim
x
x(3
1 x3
1
a
b x
)
0
lim ( 3
x
1 x3
1 a
b x
)
0
故 1 a 0 , 于是 a 1 , 而
y x
y 3 1 x3
及其定义域 .
解: f (
x)
e
x
2
,
f
[
(x)]
e 2(x)
由
e 2 (x) 1 x
得
(x) ln(1 x) , x (,0]
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2 当 x 1时,
求 lim(1 x)(1 x 2 )(1 x4 )(1 x 2n ). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
lim f ( x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0 为例 )
lim f (x) A
xx0
lim [ f (x) A] 0
xx0
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
振荡间断点 无穷间断点
跳跃间断点 可去间断点
间断点定义
第一类 第二类
连续函数 的性质
1. 函数连续的等价形式
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0 )
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
b lim (3 1 x3 x)
x
lim
1
0
x 3 (1 x3)2 x 3 1 x3 x2
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6. 解:
求
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
.
(2000考研)
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
lim
x0
2e
4 x
e
e
4 x
1
3 x
sin x
y tan x; y cot x; 5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
y arctan x; y arccot x
二、 极限
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f ( x)
两者的 关系
函数与极限
一、 函数 二、 极限 三、 连续与间断
第一章
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1. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
2. 反函数
设函数 f : D f (D) 为单射, 反函数为其逆映射 f 1 : f (D) D
3. 复合函数
给定函数链 f : D1 f (D1) g : D g(D) D1
(即 f (x) A 为无穷小)
f (x0 ) f (x0 ) A
2. 极限的性质、存在准则及极限运算法则
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3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x～x ; tan x～ x ;
1
cos
x～
1 2
x2
;
arctan x～x ; arcsin x～x ; ln(1 x) ～ x ;
则复合函数为 f g : D f [g(D) ] 4. 初等函数
有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复
复合而成的一个表达式的函数.
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基本初等函数
1）幂函数 y x (是常数)
2）指数函数 y a x (a 0, a 1) 3）对数函数 y loga x (a 0, a 1) 4）三角函数 y sin x; y cos x;
x
1
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
1
原式 = 1
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