【点集拓扑学】§2.3 邻域与邻域系

这里我们也有与定理2.2.l类似的定理． 定理2.3.4 都是拓扑空间． 定理2.3.4 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间．则 （1）恒同映射：X→X 在每一点 x∈X 处连续； 恒同映射： 处连续； X→Y在点x∈X处连续 在点x∈X处连续， （2）如果 f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z 在
§2.3 邻域与邻域系
我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给 出映射在某一点处的连续性的概念． 定义 2.3.1 设（X，P )是一个拓扑空间， x∈X．如果 U 是 X 的一个子集，满足条件：存在一 个开集 V∈P 使得 x∈V U 则称 U 是点 x 的一个邻域．点 x 的所有邻域构 成的 x 的子集族称为点 x 的邻域系．如果 U 是 包含着点 x 的一个开集，那么它一定是 x的一个 邻域，称U是点 x 的一个开邻域．
现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点 处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中 去． 定义2.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，
f:X→Y，x∈X．如果 f(x)∈Y 的每一个邻域 U 的 f 1 原象 (U）是 x∈X 的一个邻域，则Байду номын сангаас映射 f 是一 个在点 x 处连续的映射，或简称映射 f 在点 x 处 连续．
iX
点 f(x）处连续，则 gof：X→Z 在 x 处连续． f(x）处连续， gof： 处连续．
以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体 的”连续性概念之间的联系． 定理 2.3.5 是两个拓扑空间， 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f：
X→Y． x∈X， X→Y．则映射 f 连续当且仅当对于每一点 x∈X，映 处连续． 射 f 在点 x 处连续． 作业: 作业: 掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明 一个映射是否连续的方法．
定理2.3.2概括了邻域系的基本性质． 定理2.3.2 是一个拓扑空间． 定理2.3.2 设 X 是一个拓扑空间．记 x 为点 的邻域系． x∈X 的邻域系．则： x∈X， （1）对于任何 x∈X，x ≠ ；并且如果 U∈ x ，则 x∈U； x∈U； （2）如果 U，V∈ x ，则 U∩V∈ x ； （3）如果 U∈x 并且 U V，则 V∈ x ； 如果U∈ 满足条件： （4） 如果U∈x ，则存在 V∈ x满足条件：(a) V y∈V， U 和 (b) 对于任何 y∈V，有 V∈ y ．
我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空 间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采 用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的 从开集概念出发定义拓扑来得简洁． 定理2.3.3 是一个集合． 定理2.3.3 设 X 是一个集合．又设对于每一点 x∈X 指定了 x 的一个子集族 x ，并且它们满足定 中的条件（ ）～（4）．则 理2.3.2 中的条件（1）～（4）．则 x 有惟一的一 x∈X， 恰是点x 个拓扑 T 使得对于每一点 x∈X，子集族 x 恰是点x 在拓扑空间（ 中的邻域系． 在拓扑空间（X，P） 中的邻域系．(证明略)
我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时， 空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合 是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义 或者是按这里的定义，都是一回事． 定理2.3.1 定理2.3.1 拓扑空间 X 的一个子集 U 是开集的 是它的每一点的邻域， 充分必要条件是 U 是它的每一点的邻域，即只要 x∈U，U 便是 x 的一个邻域． x∈U， 的一个邻域．