直线与圆锥曲线 练习题

直线与圆锥曲线

1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A ．有且只有一条

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有且只有四条

解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝

x A ＋p 2

＋x B ＋p

2

＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．

2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为10

3

，则|AB |＝( )

A.133

B.143 C ．5

D.163

解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋

10

3＝163

. 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2

＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )

A ．y ＝x －1

B ．y ＝－2x ＋5

C ．y ＝－x ＋3

D ．y ＝2x －3

解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧

y 2

1＝4x 1， ①

y 2

2＝4x 2， ②

①－②得y 21－y 2

2＝4(x 1

－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴

y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4

2

＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.

4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 2

9＝1的左焦点作倾斜角为π

6的直线l ，则直

线l 与双曲线C 的交点情况是( )

A ．没有交点

B ．只有一个交点

C ．有两个交点且都在左支上

D ．有两个交点分别在左、右两支上

解析：选D 直线l 的方程为y ＝33()x ＋13，代入C ：x 24－y 2

9＝1，整理得23x 2

－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．

5．已知抛物线y ＝－x 2

＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |＝( )

A ．3

B ．4

C ．3 2

D ．4 2

解析：选C 由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝－1＋2b .所

以AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

2，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝0，得b ＝1，

所以|AB |＝1＋12·

x 1＋x 2

2

－4x 1x 2＝3 2.

6．(2019·青岛模拟)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△AP Q 的面积为4，则p 的值为( )

A.1

2 B ．1 C.32

D ．2

解析：选D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为y ＝kx －p 2.由⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝kx －p 2，x 2＝2py 得

x 2－2pkx ＋p 2＝0，

由Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，可得k ＝±1， 则Q ⎝ ⎛

⎭⎪⎫

p ，p 2，P ⎝

⎛

⎭⎪⎫

－p ，p 2，

∴△AP Q 的面积为1

2

×2p ×p ＝4，∴p ＝2.故选D.

7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B

两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )

A ．2 B.32 C.

35

5

D.52

解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12，15)，得x 1＋x 2＝24，

y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧

x 21a 2－y 2

1b 2＝1，

x 22a 2－y 2

2b 2＝1，

两式相减得：

x 1＋x 2

x 1－x 2

a

2

＝

y 1＋y 2

y 1－y 2

b

2

，

则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 25a 2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝5

4，∴双曲线的离心率e ＝c a

＝

1＋b 2a 2＝32

. 8．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )

A ．y 2＝x

B ．y 2＝2x

C ．y 2＝4x

D ．y 2＝8x

解析：选C F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p

2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p

2.

联立得方程组⎩

⎪⎨⎪

⎧

y 2＝2px ，y ＝x －p

2，可得x 2

－3px ＋p 2

4

＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，

∴M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3p 2，p ，∴N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p 2.

∴C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

5p 2，0，∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3p 2＋5p 2·p

2

－12·p 2·p ＝7p 24

＝7，

又p ＞0，∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C.