第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课

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湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
y (.) y . (. . . sin .) .(. . sin .)
=0.52608
11.用改进的欧拉法平均公式，取步长 h=0.1，求解初值问题
所以，因此其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 ))
y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2 y ( x n ) hy ( x n ) h 2 y ( x n ) O(h 3 )
0.2 y k (4 x k y k )(k 0,1,2)
当 k=0，x1=0.2 时，已知 x0=0,y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0 当 k＝1，x2=0.4 时，已知 x1=0.2, y1=0.8，有 y(0.4)y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当 k=2，x3=0.6 时，已知 x2=0.4,y2=0.614 4，有 y(0.6)y3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0
有
y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
所以，因此其局部截断为
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2
h Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) [ f ( x n , y ( x n )) f ( x n 1 , y ( x n 1 ))] 2
预报值 校正值
2 y k 1 y k h( y k y k sin x k )
y k (0.8 0.2 y k sin x k )
2 h 2 y k 1 y k [( y k y k sin x k ) ( y k 1 y k 1 sin x k 1 )] 2
12.（1）取步长 h=0.2,用改进 Euler 法求解常微分方程初值问题 y 2 x y 2, y (0) 0 在 x=0.6 上的解。 （2）对改进 Eluer 格式进行误差分析。 解:（1）改进 Euler 公式 y y i hf ( xi , y i ) ~ i 1 y y h ( f (x , y ) f (x , ~ i 1 i i i i 1 y i 1 )) 2 分别将 x=0.2, 0.4,0.6,代入上式中计算即可！ (2)改进欧拉格式 h yi 1 yi 2 [k1 k2 ] k1 f ( xi , yi ) k f ( x h, y hk ) i i 1 2
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2
h2 y ( x n ) O(h 3 ) O(h 2 ) 2 h2 y ( x n ) 。 2
所以，显式 Euler 方法是 1 阶方法，其截断误差的主项是
7.对隐式 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 )) 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
y y xy ( x .) 9.用欧拉法解初值问题 ， 取步长 h=0.2.计算过程保留 4 位小数. y () 解: h=0.2, f(x)=－y－xy2.首先建立欧拉迭代公式
2 y k 1 y k hf ( x k , y k ) y k hy k hx k y k
y y y sin x 10. 用 欧 拉 预 报 － 校 正 公 式 求 解 初 值 问 题 ， 取 步 长 h=0.2, 计 算 y () y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留 5 位小数.l 解 步长 h=0.2, 此时 f(x,y)=－y－y2sinx. 欧拉预报－校正公式为： 预报值 y k 1 y k hf ( x k , y k ) h y k 1 y k [ f ( x k , y k ) f ( x k 1 , y k 1 )] 校正值 2 有迭代公式：
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h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 h h h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 2 2 12 h3 y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以，梯形公式是 2 阶方法，其截断误差的主项是 y ( x n ) 。 12 y ( x n ) hy ( x n )
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ， y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ，对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开， y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
当 k=0 时，x0=0,y0=1,x1=0.1,有
0.12 1 y1 [0.1 (1 0.1) 0 0.1 0.1] (1 0.1 ) 1 1.11 2 2
当 k=1 时，x1=0.1, y1=1.11, x2=0.2,有
1 0 .1 2 y 2 [0.1 (1 0.1) 0.1 0.1 0.2] (1 0.1 ) 1.11 1.242 1 2 2
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当 k=0，x0=1, y0=1 时，x1=1.2，有 y y (. . y sin x ) (. sin ) .
h2 y ( x n ) O(h 3 ) O(h 2 ) 2 h2 y ( x n ) 。 2
所以，隐式 Euler 方法也是 1 阶方法，其截断误差的主项是
8.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 解：其局部截断为 h Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) [ f ( x n , y ( x n )) f ( x n 1 , y ( x n 1 ))] 2 ( ) y x x 对 n 1 在 n 处作 Talor 展开，有
y f ( x, y ) 3.求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) (D) 答案：
)的局部截断误差为 O(h3). 5. 解微分方程初值问题的方法，( (A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格－库塔法 (D) 四阶龙格－库塔法 答案：(B) 解答：改进欧拉法的局部截断误差是二阶精度，O(h3)。
6. 对 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2
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而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ，因此其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) y ( x n ) hy ( x n ) y ( x n ) hy ( x n )
y (.) y (. . sin ) .(. . sin .) . 当 k=1，x1=1.2, y1=0.71549 时，x2=1.4，有 y y (. . y sin x ) . (. . sin .)
y x y (0 x 0.2) y ( 0) 1
计算过程保留 4 位小数. 解 首先建立迭代格式：
y p y k hf ( x k , y k ) hx k y k (1 h) 2 2 y c y k hf ( x k 1 , y p ) y k (1 h h ) hx k 1 h x k 2 y 1 [ y y ] 1 [h(1 h) x hx ] (1 h h ) y 1 1 k p c k k k 2 2 2
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第六章 常微分方程初值问题的数值解法_习题课
1 .欧拉法的局部截断误差的阶为 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 2. 欧拉法的绝对稳定实区域为 二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 。 。 。 。 。 。 。 );
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2 ( ) ( , ( )) y x f x y x x 而且 ，也在 n 处作 Talor 展开，有 n 1 n 1 n 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n ) O(h 2 ) y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )