概率论与数理统计第二章课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

第二章

1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只

球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

35

35

24

35

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

====

2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律；

（2） X 的分 布函数并作图； (3)

133{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

31331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35

C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ========== 故X 的分布律为

（2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435

当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数

0,

022

,0135

()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩

(3)

3.射手向目标独立 地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.

312

32

2

3

3(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============

故X 的 分布律为

分布函数

0,

00.008,01()0.104,120.488,231,

3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪

=≤<⎨⎪≤<⎪

≥⎪⎩

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

4.（1） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

k

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .

（2） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知

1()e !

k

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

g

故 e a λ-=

(2) 由分布律的性质知

1

1

1()N

N

k k a

P X k a N

======∑∑

即 1a =.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3,

(1)

(3,3)P X Y ==

331212

33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++

222233

33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+

0.32076=

(2)

=

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机

降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)

【 解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有

()0.01P X N ><

即 200

2002001

C (0.02)(0.98)

0.01k k k

k N -=+<∑

利用泊松近似

2000.02 4.np λ==⨯=

41

e 4()0.01!k

k N P X N k -∞

=+≥<∑B 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊 松定理） 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000， 001）

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X = 1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

故

所以 4

4

51

210

(4)C ()33243

P X ===

. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，）

5

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，）

7

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （ 2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1 ）3

2

(0)e P X -

== (2) 52

(1)1(0)1e P X P X -

≥=-==-

11.设P { X =k }=k

k

k

p p --22)

1(C , k =0,1,2

P {Y =m }=

m

m m p p --44)

1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5

9

，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=

，故4(1)9

P X <=. 而 2

(1)(0)(1)P X P X p <===-