线代17 线性代数试题库

苏州大学《线性代数》课程试卷库（第十七卷）共 4 页

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1、设γβα,,为3维列向量，已知3阶行列式402,2,4=--αγβαγ，则

行列式=γβα,, 。

2、已知,3111211111

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=-A 则=*A 。

3、如果每一个n 维向量都可由向量组n ααα,,,21Λ线性表出，则向量组

n ααα,,,21Λ线性 。

4、设B A ,均为n 阶方阵，且 2=AB ，则方程组0=Ax 与0=Bx 的非零解的

个数为 。

5、设实数a 满足1≠a ，且齐次线性方程组0221

22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x a a

有非零解，则=a 。

6、已知A ，B 均为n 阶矩阵，A 与B 相似且方程组b Ax =有唯一解，

则矩阵B 的秩是 。

7、设4阶方阵A ，且3)(=A r ，则=*)(A r 。

8、设向量组)3,2,1(1=α，)1,0,3(2-=α，)3,,1(3t =α两两正交，=t 。

9、若A 相似于矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-321，则=-3

1A

。 10、设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的非零特征值为 。

二、判断题：（每题2分，共10分，正确的打“√”，否则打“⨯”） 1、设B A ,均为n 阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+。 （ ） 2、设A 是n m ⨯阶矩阵，若方程组)0(≠=βAx 的解不唯一，则n m <。 （ ）

3、如果向量组4321,,,ββββ可由321,,ααα线性表出，4321,,,ββββ线性相关。

（ ）

4、设n 阶矩阵A ，C 是正交矩阵，且B AC C T =，则B A ,有相同的特征值。（ ）

5、设A 是n 阶下三角矩阵，当jj ii a a ≠ ),,2,1,,(n j i j i Λ=≠时，A 相似于对角阵。

（ ）

三、（10分） 计算行列式 D=2

10001

210001210001210

0012

四、（10分）设矩阵B A ,满足关系式B A AB 2+=，且⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=410011103A

求：B

五、（10分）设向量组1)( ,,,21>m m αααΛ线性无关，且 21m αααβ+++=Λ，判断向量组 ,,,21m αβαβαβ---Λ的线性相关性。

六、（10分）线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+-+=+-+=++-λ

4321

43214321114724212x x x x x x x x x x x x

（1） 讨论当λ为何值时，方程组无解？方程组有解？

（2）当方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的全部解。

七、（10分）已知⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-----=122232221A ，求：（1）A 的所有特征值和特征向量；

（2）可逆矩阵P 和对角阵Λ，使AP P 1-= Λ；（3）k A

八、（10分）设n 阶实对称矩阵B A ,相似， 求证：存在正交矩阵Q ，使B AQ Q T =