大学物理学第8章作业题

8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为

()Wb π100sin 100.85t Φ⨯=，求在s 100.12-⨯=t 时，线圈中的感应电动势．

分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成t

ψ

t ΦN ξd d d d -

=-=，其中ΦN ψ=称为磁链．

解 线圈中总的感应电动势

()()t t

Φ

N

ξπ100cos 51.2d d =-= 当s 100.12

-⨯=t 时，V 51.2=ξ．

8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以

t

I

d d 的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示．求线圈中的感应电动势．

分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律t

Φ

ξd d -

=来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用⎰

⋅=S ΦS B d 来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B 1

与B 2 之和）．

为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即()B B x =，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx 、长为d 的面元ｄS ，如图中阴影部分所示，则x d S d d =，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元y x S d d d =，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式t

l

M E M d d -=求解． 解1 穿过面元ｄS 的磁通量为

()x d x

I

μx d d x I μΦd π2d π2d d d d 0021-+=

⋅+⋅=⋅=S B S B S B

因此穿过线圈的磁通量为

()4

3ln π2d π2d π2d 020

20Id μx x Id μx d x Id μΦΦd d d

d

=-+==⎰⎰

⎰

再由法拉第电磁感应定律，有

t

I d μt ΦE d d 43ln π2d d 0⎪⎭⎫ ⎝⎛=-

= 解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为

4

3

ln π20dI μΦ=

线圈与两长直导线间的互感为

4

3ln π20d μI ΦM ==

当电流以

t

l

d d 变化时，线圈中的互感电动势为 t

I d μt I M

E d d 43ln π2d d 0⎪⎭⎫ ⎝⎛=-= 试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t ，线圈左端距右侧直导线的距离为ξ，则穿过回路的磁通量()ξf ΦS

,1d =⋅=⎰

S B ，它表现为变量I 和ξ的二元函数，将Φ代

入t ΦE d d -

= 即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中v =t

ξ

d d ，再令ξ＝d 即可求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势．

8 －11 长为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．

分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是O A 棒与O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而E O A 和E O B 则可以直接利用第８ －2 节例1 给出的结果． 解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl ，则

()()r L lB ωl lB ωE L-r

r

AB

AB 22

1

d d --=-=⋅⨯=⎰⎰

-l B v

因此棒两端的电势差为

()r L lB ωE U AB AB 22

1

--==

当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高

解2 将AB 棒上的电动势看作是O A 棒和O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中

221r ωB E OA =

,()22

1r L B ωE OB -= 则

()r L BL ωE E E OB OA AB 22

1

--=-=

8 －12 如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO ′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．

分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律t

Φ

E d d -

= 计算（此时必须构造一个包含OP 导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO ），也可用()l B d ⋅⨯=

⎰l

E v 来

计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的． 解1 由上分析，得

()l B d ⋅⨯=⎰

OP

OP E v

l αB l

o d cos 90sin ⎰=v ()()

l θB θωl

o d 90cos sin ⎰-=l

()⎰==L θL B ωl l θB ω02

2sin 2

1d sin

由矢量B ⨯v 的方向可知端点P 的电势较高．

解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿 过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势

QO PQ OP E E E t

Φ

E ++==-

=0d d 显然，E QO ＝0，所以

()2

2

1PQ B ωE E E QO PQ OP ==-=

由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂直切割的情况．