阿基米德三角形性质与高考题

阿基米德三角形性质与

高考题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

阿基米德三角形性质与高考题

性质1

即：)2

,2(2

1

21y y p y y Q +

19．（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y

轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于

A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线

:l y c =-交于点P Q ，．

（1）若2=⋅OB OA ，求c 的值；（5分）

（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）

19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分．

解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+， 将该方程代入2y x =得20x kx c --=．

令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．

因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．

（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫

-

⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222

AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设0()Q x c -，

． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQ

a c a a

b k a x a x +-==--，所以20

2a ab

a a x -=-，

得202ax a ab =+，因0a ≠，有02

a b

x +=． 故点P 的横坐标为2

a b

+，即P 点是线段AB 的中点．

性质2：2||||||QF BF AF =⋅

例7．（13广东）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线

l :20x y --=

的距离为

2

.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.

(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；

(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.

性质3：QFB QFA ∠=∠

22．（05江西

02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分

别相切于A 、B 两点.

（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112

x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;022

0=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x x

解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10， ,3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方

程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

（2）因为).4

1,(),41,2(),41,(2

111010

200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP

∴||41)1)(1(||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +

=--+⋅+==

∠ 同理有||41)1)(1(||||cos 102

110110FP x x x x x x x x FB FP FB FP BFP +

=--+⋅+==

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p

（21）（06年全国卷2）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（I ）证明.FM AB 为定值；

（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。