数字信号处理第2章习题答案

max[Rx ,
1 Ry
]
v
min[Rx ,
1 Ry
]
Rx Ry 1 Rx Ry
前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅里叶变换表示， 第 二式是用序列的Z变换表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。
（7） 若x(n)=a|n|, 则
X
(z)
(1
1 a2 az)(1
2.1.2 重要公式
（1）
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 π X (ej )ejnd
2 －π
这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条 件是序列服从绝对可和的条件， 即
x(n)
n
（2） 若y(n)=x(n)*h(n), 则
Y (e j ) X (e j )H (e j )
（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初 值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。
（6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
两者种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统的频域特性是用 傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶 变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶变换是离散化的傅里 叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散 傅里叶变换具有快速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都 进行了离散化， 这是它的优点。 但更有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其FFT 将在下一章学习。
（5）
X (z) x(n)z n n
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
c (Rx , Rx )
这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。
（6）
x(n) 2 1
X (e j ) 2d
n
2π 2
x(n) y(n) 1
n
2π
c
X
(v)Y
(
1 v
)
dv v
c (Rx , Rx )
性之间的关系， 可以总结成 几句话： ① 收敛域包含∞点 ， 序列是因果序列； ② 收敛 域在某圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右 序列； ④ 收敛域在整个z面，
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频率特性使用Z变换却 更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅 频特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。
［例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZT［x(n)］ 在单位圆的下半部分为零。 已知
2.4 例
［例2.4.1］ 已知IIR数字滤波器的系统函数
H(z) 1 试判断滤波器的类型（低通、 高通、 1带通0、.9带z阻1）。 （某校硕士研究生入学考
解： 将系统函数写成下式:
H(z) 1 ＝ z 1 0.9z 1 z 0.9
系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波器的通带中心在ω=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。
2.1.1
（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在条件。 （2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域卷积定理、 频域微分性质、 实序列和 一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
（3）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序列特性之间的关系。
az 1 )
a z a 1
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用 它演变出来的。
2.2 FT和ZT
（1） FT的逆变换为
x(n) 1 π X (e j )e jnd 2π －π
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再 用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者 说封闭曲线c可取 单位圆。
第2章 时域离散信号和系wenku.baidu.com的频域分析
2.1 学习要点与重要公式 2.2 FT和ZT的逆变换 2.3 分析信号和系统的频率特性 2.4 例题 2.5 习题与上机题解答
2.1
数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变 换（ZT）。 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这 大大方便了对信号和系统的分析和处理。
这是时域卷积定理。
（3） 若y(n)=x(n)h(n), 则
Y (e j ) 1 H (e j ) X (e j ) 2π
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
（4）
xe
(n)
1 2
[x(n)
x
(n)]
xo (n)
1 [x(n) 2
x (n)]
式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列 的xe(n)和xo(n)。
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到
1 X (z) 1 az 1
因极点z=a， 取收敛域为|z|>|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。
（2） ZT的逆变换为
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
幅频特性。 当频率由0到2π变 化时， 观察零点矢量长度和 极点矢量长度的变化， 在极 点附近会形成峰。 极点愈靠 进单位圆， 峰值愈高； 零点 附近形成谷， 零点愈靠进单 位圆， 谷值愈低， 零点在单
位圆上则形成幅频特性的零点 。 当然， 峰值频率就在最靠 近单位圆的极点附近， 谷值
频率就在最靠近单位圆的零点