高三数学不等关系PPT优秀课件

• [例2] 已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大 小．
• 解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6 • ＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)， • ∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.
• [变式训练2] 设m∈R，x∈R，比较x2－x ＋1与－2m2－2mx的大小．
• 如果a－b>0，那么⑤________；
• 如果⑥________，那么a<b；
• 如果a－b＝0，那么⑦________.
• 友情提示：事实上，以上三组条件与结论 反过来也是成立的. 即a－b>0⇔⑧ ________；a－b＝0⇔⑨________；a－ b<0⇔⑩________.
• 2．比较实数大小的方法．
• 1.不等式与等式之间主要有哪些异同？
• 不等式与等式是生活、生产实践中最常见 的关系式，其相异的性质主要在与数相乘 时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同 时，结论不同；而等式则不然．等式与不 等式的性质对比如下表：
• 2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及 注意事项呢？
• 证明一个不等式和比较实数的大小一样，根 据题目的特点可以有不同的证明方法．
③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种 合适的方法，要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式 一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．
• (2)在证明不等式时还可以利用已经证明的 结论，或者利用不等式的性质对不等式进 行变形，使不等式变成简单易于比较大小 的形式，再比较大小得出结论，需要注意 的是，有些结论的递推是双向的，而有些 是单向的，例如，不等式性质中的对称性 就是双向的，而传递性就是单向的，在不 等式两边同乘一个数或式子的时候，必须 先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘 后是否改变符号．
• (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以 采用反证法进行证明，具体可以根据课本
• [例1] 对于实数a、b、c，判断下列命题 的真假：
• (1)若a>b，则ac>bc； • (2)若a>b，则ac2>bc2； • (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； • (4)若a<b<0，则 • (5)若a<b<0，则
那么⑮________. • 友情提示：(1)要特别注意性质2、3中⑯
________的符号，因为⑰________的符号 相异，结论恰好相反．
• (2)所有性质中的a和b可以是⑱________，
• 答案：
• ①常量与常量 ②变量与常量 ③函数与 函数 ④一组变量 ⑤a>b ⑥a－b<0 ⑦a＝b ⑧a>b ⑨a＝b ⑩a<b ⑪符号 ⑫a＋c>b＋c ⑬ac>bc ⑭ac<bc ⑮a>c ⑯c ⑰c ⑱实数 ⑲式子
(4)由性质定理 a<b<0⇒1a>1b，命题是真命题； (5)例如－3<－2<0，23<32，命题是假命题．
－a>－b>0 －a>－b>0
a<b<0⇒1 1 a>b
⇒－1b>－1a
⇒ab>ba.
• [变式训练1] 如果a>b，则下列各式正确 的是( )
• A．a·lgx>lgx·b(x>0) • B．ax2>bx2 • C．a2>b2 • D．a·2x>b·2x
wenku.baidu.com
解析：∵x∈R，m∈R， ∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx) ＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1) ＝x2＋(2m－1)x＋(2m2－1)2－(2m2－1)2＋2m2＋1 ＝(x＋2m2－1)2＋m2＋m＋34 ＝(x＋2m2－1)2＋(m＋12)2＋12>0. ∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
• 对于D：由指数函数的性质可知，2x>0，
• 又∵a>b，∴a·2x>b·2x成立，故选择D. • 答案：D
• 实数(或式)比较大小的依据是a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0(或a>0， b>0时， >1⇔a>b)．
• 方法步骤是作差(商)——变形——判断大 于或小于零(大于1或小于1)．关键是变形， 变形的目的在于便于判断正负．常见的变 形有因式分解、配方等．
• 解析：对于A：当x>0时，lgx∈R，当lgx≤0 时，a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；
• 对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2，
• ∴ax2>bx2不成立，故应排除B；
• 对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b 可知a－b>0，但是a＋b的符号是不确定的， 因此a2>b2不成立，故应排除C；
• (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不 等式的重要方法，但是它们又有自己的适用 范围，对于不同的问题应当选择不同的方法 进行解决：
• ①一般的实数大小的比较都可以采用作差法， 但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进 行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，
②作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者 式子，具有一定的局限性，作商后要与 1 进行比较，所以， 作商后必须易于变成能与 1 比较大小的式子，此种方法主要 适用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较，例如，比较 aabb 与(ab) 的大小就可以使用作商法．
• 比较两个实数a与b的大小，需归结为判断 它们的差a－b的⑪________(注意：这里指 差的符号，至于差的值究竟是什么，无关 紧要)．
• 三、不等式的性质
• 1．若a>b，则⑫________； • 2．若a>b，c>0，则⑬________； • 3．若a>b，c<0，则⑭________. • 4．不等关系的传递性：如果a>b，b>c，
• 1．1 不等关系 • 1．2 比较大小
• 一、不等关系 • 在数学意义上，不等关系可以体现： • ①________之间的不等关系； • ②________之间的不等关系； • ③________之间的不等关系； • ④________之间的不等关系．
• 二、比较大小
• 1．任意两个实数a，b都能比较大小：
• 解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无 法确定ac与bc的大小，所以是假命题；
• (2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c ＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；
• 变式：若ac2>bc2，则a>b，此命题是真命 题；
• (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2， 命题是真命题；