工程力学 平面弯曲杆件的变形与刚度计算PPT课件
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求 梁的变形
18
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
在很多的工程计算手册中，已将各种支 承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下 的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度 表。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲 线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要 概念，以及在小变形条件下的力的独立作用 原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到 在很多复杂情形下梁的位移。
2
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、 挠度和转角
3
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载， 梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲 线称为挠度曲线，简称挠曲线。
1. 在平面弯曲的情况下，挠曲线为位于形心主惯性平面 内的平面曲线。
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角
w 2. 横截面形心处的铅垂位移， 称为挠度, 随x而变化，
w＝ w（x），称为挠曲线方程
3. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度， 称为转角，用= （x）表示；称为转角方程
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
力学中的曲率公式
1M EI
数学中的曲率公式
d 2w
1
dx 2
3
1
d
w
2
2
d x
小挠度情形下
dw
2
d x
1 ＜＜1
d2w M dx2 EI
9
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求 梁的变形
10
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，要分段
写出，因此，在集中力、集中力偶以及分布
载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：
w1= w2，θ1＝θ2
x＝l/4， w1＝w2
x＝l/4，1=2
13
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
例13-1
书234
14
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
工程力学
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角 §13－2 挠曲线的近似微分方程 §13－3 积分法求梁的变形 §13－4 叠加法求梁的变形 §13－5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §13－6 用变形比较法解简单超静定梁
本章小结 本章作业 习题：13-4（a,b），13-10
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-4
已知：简支梁受力如
图示，q、l、EI均为
已知。
求：C截面的挠度wC ；
B截面的转角B
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
解：1.将梁上的载荷变 为3种简单的情形。
w Cw C 1w C 2w C 3
6
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角
在小变形条件下，挠曲线较为平
坦，即很小，因而上式中tan。于
是有
dw tan
dx
dw
dx
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－2 挠曲线的 近似微分方程
8
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－2 挠曲线的近似微分方程
采用向下的w坐标系，有
d2w M dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)， 代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转 角方程：
ddw x l MExIdxC
wl l M ExIdxdxC xD
其中C、D为积分常数。
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
例13-2
书235
15
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
例13-3
书236
16
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
B3
1 3
ql 3 EI
,
22
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
解：3. 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果分别叠加
将上述结果按代数值相加，分 别得到梁C截面的挠度和支座B处 的转角:
wC i31wCi3181q4E4lI,
B
3
Bi
i1
11ql3 48EI
23
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-5
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-6
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-7
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－5 梁的刚度条 件与合理刚度设计
§13－3 积分法求梁的变形
边界条件：
在固定铰支座和辊轴 支座处，边界条件为挠度等 于零：
x=0和x=l时 w=0;
在固定端处，约束条 件为挠度和转角都等于零：
x=0时 w=θ＝0。
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
连续性条件：
连续条件是指，梁在弹性范围内加载，
BB1B2B3
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
解：2.由挠度表查得3种情形下
C截面的挠度；B截面的转角。
w C1
5 384
ql 4 , EI
wБайду номын сангаас2
1 48
ql 4 , EI
w C3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 ,
EI
B2
1 16
ql 3 , EI
§13－1 挠曲线、挠度和转角
机械传动机构中的 齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿 轮的啮合处将产生较大 的挠度和转角，这不仅 会影响两个齿轮之间的 啮合，以致不能正常工 作；而且还会加大齿轮 磨损，同时将在转动的 过程中产生很大的噪声； 此外，当轴的变形很大 使，轴在支承处也将产 生较大的转角，从而使 轴和轴承的磨损大大增 加，降低轴和轴承的使 用寿命。
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求 梁的变形
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
在很多的工程计算手册中，已将各种支 承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下 的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度 表。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲 线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要 概念，以及在小变形条件下的力的独立作用 原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到 在很多复杂情形下梁的位移。
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、 挠度和转角
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载， 梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲 线称为挠度曲线，简称挠曲线。
1. 在平面弯曲的情况下，挠曲线为位于形心主惯性平面 内的平面曲线。
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角
w 2. 横截面形心处的铅垂位移， 称为挠度, 随x而变化，
w＝ w（x），称为挠曲线方程
3. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度， 称为转角，用= （x）表示；称为转角方程
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
力学中的曲率公式
1M EI
数学中的曲率公式
d 2w
1
dx 2
3
1
d
w
2
2
d x
小挠度情形下
dw
2
d x
1 ＜＜1
d2w M dx2 EI
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求 梁的变形
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，要分段
写出，因此，在集中力、集中力偶以及分布
载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：
w1= w2，θ1＝θ2
x＝l/4， w1＝w2
x＝l/4，1=2
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
例13-1
书234
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
工程力学
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角 §13－2 挠曲线的近似微分方程 §13－3 积分法求梁的变形 §13－4 叠加法求梁的变形 §13－5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §13－6 用变形比较法解简单超静定梁
本章小结 本章作业 习题：13-4（a,b），13-10
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-4
已知：简支梁受力如
图示，q、l、EI均为
已知。
求：C截面的挠度wC ；
B截面的转角B
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
解：1.将梁上的载荷变 为3种简单的情形。
w Cw C 1w C 2w C 3
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－1 挠曲线、挠度和转角
在小变形条件下，挠曲线较为平
坦，即很小，因而上式中tan。于
是有
dw tan
dx
dw
dx
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－2 挠曲线的 近似微分方程
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－2 挠曲线的近似微分方程
采用向下的w坐标系，有
d2w M dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)， 代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转 角方程：
ddw x l MExIdxC
wl l M ExIdxdxC xD
其中C、D为积分常数。
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
例13-2
书235
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
例13-3
书236
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
B3
1 3
ql 3 EI
,
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
解：3. 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果分别叠加
将上述结果按代数值相加，分 别得到梁C截面的挠度和支座B处 的转角:
wC i31wCi3181q4E4lI,
B
3
Bi
i1
11ql3 48EI
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-5
24
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-6
25
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
例13-7
26
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－5 梁的刚度条 件与合理刚度设计
§13－3 积分法求梁的变形
边界条件：
在固定铰支座和辊轴 支座处，边界条件为挠度等 于零：
x=0和x=l时 w=0;
在固定端处，约束条 件为挠度和转角都等于零：
x=0时 w=θ＝0。
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第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－3 积分法求梁的变形
连续性条件：
连续条件是指，梁在弹性范围内加载，
BB1B2B3
21
第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算
§13－4 叠加法求梁的变形
解：2.由挠度表查得3种情形下
C截面的挠度；B截面的转角。
w C1
5 384
ql 4 , EI
wБайду номын сангаас2
1 48
ql 4 , EI
w C3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 ,
EI
B2
1 16
ql 3 , EI
§13－1 挠曲线、挠度和转角
机械传动机构中的 齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿 轮的啮合处将产生较大 的挠度和转角，这不仅 会影响两个齿轮之间的 啮合，以致不能正常工 作；而且还会加大齿轮 磨损，同时将在转动的 过程中产生很大的噪声； 此外，当轴的变形很大 使，轴在支承处也将产 生较大的转角，从而使 轴和轴承的磨损大大增 加，降低轴和轴承的使 用寿命。