《直线与圆的综合问题》专题

《直线与圆的综合问题》专题

2019年（）月（）日班级姓名

考点一与圆有关的最值问题

考法(一)斜率型最值问题

[典例]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y

x的最大值和最小值．

[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，

表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．

y

x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设y

x＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取得最大值或最小值，

此时|2k－0|

k2＋1

＝3，

解得k＝±3.

所以y

x的最大值为3，最小值为－ 3.

[解题技法]

形如μ＝y－b

x－a

型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如

本题y

x＝

y－0

x－0

表示过坐标原点的直线的斜率．

考法(二)截距型最值问题

[典例]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．

[解]y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时

|2－0＋b|

2

＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最

小值为－2－ 6.

[解题技法]

形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x －2)2＋y 2＝3，故可令

⎩⎨⎧ x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，即⎩

⎨⎧

x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ，从而y －x ＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin ⎝⎛⎭

⎫θ－π

4－2，进而求出y －x 的最大值和最小值． 考法(三) 距离型最值问题

[典例] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，

所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. [解题技法]

形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．如本题中x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，从而转化为动点(x ，y )与坐标原点的距离的平方．

[题组训练]

1．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆上任意一点，则y －2

x －1

的最大值为________． 解析：设y －2x －1＝k ，即kx －y －k ＋2＝0，

圆心C (－2,0)，r ＝1.

当直线与圆相切时，k 有最值，

∴

y －2x －1

的最大值为3＋3

4.

答案：3＋3

4

2．设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则PA ―→·PB ―→

的最大值为________．

解析：由题意，知PA ―→＝(2－x ，－y )，PB ―→＝(－2－x ，－y )，所以PA ―→·PB ―→

＝x 2＋y 2

－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA ―→·PB ―→

＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA ―→·PB ―→的值最大，最大值为6×4－12＝12.

答案：12

考点二 直线与圆的综合问题

[典例] 已知直线l ：4x ＋ay －5＝0与直线l ′：x －2y ＝0相互垂直，圆C 的圆心与点(2,1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (－1，－1)．

(1)求直线l 与圆C 的方程．

(2)过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，M Q 的斜率满足k MP

＋k M Q ＝0，求证：直线P Q 的斜率为1.

[解] (1)∵直线l ：4x ＋ay －5＝0与直线l ′：x －2y ＝0相互垂直， ∴4×1－2a ＝0，解得a ＝2. ∴直线l 的方程为4x ＋2y －5＝0. 设圆C 的圆心C 的坐标为(m ，n )． ∵圆心C (m ，n )与点(2,1)关于直线l 对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

n －1

m －2·

(－2)＝－1，4×m ＋22＋2×n ＋1

2－5＝0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＝0，

n ＝0，∴C (0,0)．

∴圆C 的半径r ＝|CM |＝ 2.

∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.

(2)证明：设过点M 的直线MP 的斜率为k ，则过点M 的直线M Q 的斜率为－k ，直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋1)．

∵直线MP 与圆C 相交，

∴联立得方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＋1＝k (x ＋1)，

x 2＋y 2＝2，

消去y 并整理，得(1＋k 2)x 2＋2k (k －1)x ＋k 2－2k －1＝0. ∵圆C 过点M (－1，－1)，

∴x P ·(－1)＝k 2－2k －11＋k 2，∴x P ＝2k ＋1－k 2

1＋k 2.

同理，将k 替换成－k ，可得x Q ＝－k 2－2k ＋1

1＋k 2

.

∴k P Q ＝y Q －y P

x Q －x P ＝－k (x Q ＋1)－1－k (x P ＋1)＋1x Q －x P ＝－k (x Q ＋x P )－2k

x Q －x P ＝1.

[解题技法] 直线与圆的综合问题的求解策略

(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．

(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．

[题组训练]

1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )

A ．[2,6]

B ．[4,8]

C ．[2，32]

D ．[22，32]

解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，

则圆心C (2,0)，r ＝2，

所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为

|2＋2|

2

＝22，