人教版初三数学上册含绝对值的一元二次方程

含绝对值的一元二次方程

提高练习：

一．解答题（共6小题）

1．（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．

（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．

2、（2015•昆山市）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

3、（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．

（1）求出方程的根；

（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

4．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．

作业详解（供同学们参考）

一．解答题（共5小题）

1．（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围．

（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．

考点：根的判别式；根与系数的关系．

分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，求出k的取值范围；

（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即

可．

解答：解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，

解得：k＞；

（2）∵k＞，

∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0，

又∵x1•x2=k2+1＞0，

∴x1＜0，x2＜0，

∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1，

∵|x1|+|x2|=x1•x2，

∴2k+1=k2+1，

∴k1=0，k2=2，

又∵k＞，

∴k=2．

点评：本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式△=b2﹣4ac ＞0求出k的取值范围，此题难度不大．

2．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

考点：根的判别式；根与系数的关系．

分析：（1）先求出△的值，再通过配方得出△＞0，即可得出结论；

（2）根据x1、x2是原方程的两根，得出x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，再根据|x1﹣x2|=2，得出

（x1﹣x2）2=8，再根据（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，代入计算即可．

解答：解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，

∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x1、x2是原方程的两根，

∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，

∵|x1﹣x2|=2，

∴（x1﹣x2）2=8，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，

∴m1=1，m2=﹣3．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．3．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．

考

点：

根的判别式；根与系数的关系．

分析：（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，

∴m≥﹣；

（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，

∵x12+x22=31+|x1x2|，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，

即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，

解得m=2，m=﹣14（舍去），

∴m=2．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．

4．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．

分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．

解答：解：（1）△=（m+2）2﹣8m

=m2﹣4m+4

=（m﹣2）2，

∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，

∴△≥0，

∴方程总有实数根；

（2）解方程得，x=，