帮你总结导数题型(共13类)

导数题型目录

1.导数的几何意义

2.导数四则运算构造新函数

3.利用导数研究函数单调性

4.利用导数研究函数极值和最值

5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数

6.函数极值点偏移问题

7.导函数零点不可求问题

8.双变量的处理策略

9.不等式恒成立求参数范围

10.不等式证明策略

11.双量词的处理策略

12.绝对值与导数结合问题

13.数列不等式的证明

导数专题一导数几何意义

一.知识点睛

导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。

二.方法点拨：

1.求切线

①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上

三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式

四．跟踪练习

1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是

2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=

A. 0

B.1

C.2

D.3

3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，

则b=

4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是

5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+x

b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=

6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=

21e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为

A.1-ln2

B.2（1-ln2）

C.1+ln2

D.2(1+ln2)

7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+4

15x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为

A. 2

B.82

7 C. 22 D. 1

9.已知点P 在曲线y=1

4+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）

存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围.

11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R.

(1) 求f （x ）的单调区间

(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：

对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）

(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3

a +431

.

导数专题二 利用导数四则运算构造新函数

一．知识点睛

导数四则运算法则：

[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x) [ )()(x g x f ]′=2[g(x)]

(x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨

在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函

数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。

方法一1：移项，对含有导数的不等式进行移项处理，使不等式右边归0（因为导数与0的

大小决定函数单调性）

2：观察，①若不等式左边是只含有f ′(x)的式子，可以用和差函数求导法则构造

②若不等式左边含有f ′(x)和f(x)，并且中间是+，可以用积函数求导法则

构造 ③若不等式左边含有f ′(x)和f(x)，并且中间是-，可以用商函数求导法则构

造

方法二：根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造

时要看结构，把抽象不等式两边或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以x

为主元的新函数。

三．常考题型：构造新函数解不等式或比较大小

四．跟踪练习

1. (2015广东调研)函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R,f ’（x ）＞2，则

f （x ）＞2x+4的解集为 （和差）

2.(2016贵州遵义)设函数f ’（x ）是函数f （x ）的导函数，对任意x ∈R ，有f （x ）+f ’（x ）＞

0，则x 1 ＜x 2时，结论正确的是（积）

A: e x2f （x 1）＞e x1f （x 2） B: e x2f （x 1）＜e x1f （x 2）

C: e x1f （x 1）＞e x2f （x 2） D: e x1f （x 1）＜e x2f （x 2）

3.若定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f ’（x ）＞1，f （0）=4，则不等式f （x ）＞x e

3+1的解集为 （积与差）

4.若函数y=f （x ）在R 上可导且满足不等式xf ’（x ）＞﹣f （x ）恒成立，且常数a ，b 满足a

＞b ，则下列不等式一定成立的是（积）

A: af （b ）＞bf(a) B:af(a)＞b(b) C: af(a)＜bf(b) D: a(b)＜b(a)

5.（2015济南）已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ’（x ）为f （x ）的导函数，且满

足f （x ）＜﹣xf ’（x ），则不等式f （x+1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集是 （积）

6.(2015新课标全国卷Ⅱ)设函数f ’（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （-1）=0，当x

＞0时，xf ’（x ）- f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（商）

A.(-∞，-1)∪（0,1）

B.（-1,0）∪（1，+∞）

C.(-∞，-1)∪（-1,0）

D.（0,1）∪（1，+∞）

7.设函数是R 上的奇函数，且f （-1）=0，当x ＞0时，（x 2+1）f ’（x ）-2xf(x)＜0,则不等式f

（x ）＞0的解集为 （商）

8.已知定义在R 上的函数f （x ），满足3f （x ）＞f ’（x ）恒成立，且f （1）=e 3,则下列结论正

确的是（商）

A.f （0)=1

B.f(0)＜1

C.f(2)＜e 6

D.f(2)＞e 6

9.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足2016f （-x ）＜f ’（x ）恒成立，且f （1）=e -2016,则下列

结论正确的是（商）

A.f(2016)＜0

B.f(2016)＜22016 e

C.f(2)＜0 D 。f （2）＞ e -4032