DCT变换
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首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将 它与信号的初始段进行比较 ；
通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺 度下的小波与所对应的信号段的相似程度）； 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两 个步骤完成一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
基于离散余弦变换的图像压缩
彩色图像由像素组成，这些像素具有RGB彩色值。每个像 素都带有x，y坐标，对每种原色使用8x8或者16x16矩阵。在灰 度图像中像素具有灰度值，它的x，y坐标由灰色的幅度组成。 为了在JPEG中压缩灰度图像，每个像素被翻译为亮度或灰度 值。为了压缩RGB彩色图像，这项工作必须进行三遍，因为 JPEG分别得处理每个颜色成分，R成分第一个被压缩，然后是 G成分，最后是B成分。而一个8x8矩阵的64个值，每个值都带 有各自的x，y坐标，这样我们就有了一个像素的三维表示法， 称作控件表达式或空间域。通过DCT变换，空间表达式就转化 为频谱表达式或频率域。从而到达了数据压缩的目的。
离散余弦变换
是一种与傅立叶变换紧密相关的数学运算。在傅立叶级数展 开式中，如果被展开的函数式是偶函数，那么其傅立叶级数中 只包含余弦项，再将其离散化可导出余弦变换，因此称之为离 散余弦变换。
时间域中信号需要许多数据点表示；在x轴表示时间，在y轴 表示幅度。信号一旦用傅立叶变换转换到频率域，就只需要几 点就可以表示这个相同的信号。如我们已经看到的那样，原因 就是信号只含有少量的频率成分。这允许在频率域中只用几个 数据点就可以表示信号，而在时间域中表示则需要大量数据点。
2 3 4 3 其他
尺度函数
4 3 8 3
小波函数 1 0.5
1 0.8
幅度 A
0.4 0.2 0 -0.2 -5 0 时间 t 5
幅度 A
0.6
0
-0.5
-5
0 时间 t
5
小波的工程应用——降噪
小波降噪主要包括：小波模极大值降噪、基于小波系数尺 度间相关性的去噪法、小波阈值去噪法。其中以小波阈值降 噪方法最为经典。小波阈值降噪法的基本原理是，经小波变 换后得到的小波系数，包含信号本身信息和噪声信息，一般 情况下，随机噪声的小波系数非常小，这样可以设定一个阈 值，对小于该阈值的小波系数置零，然后利用处理后的小波 系数重构原信号即可实现降噪。根据阈值选择方法的不同， 可以分为硬阈值、软阈值和自适应阈值，也有些研究者在此 基础上对阈值函数进行了改进，提出了改进阈值函数。
DCT编码：
DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空 间冗余。变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到 系数空间(频域信号)上进行处理的方法。
在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特 定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分 布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量 化比特数，达到压缩的目的。图像经DCT变换以后，DCT系 数之间的相关性就会变小。而且大部分能量集中在少数的 系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用，是有损图 像压缩国际标准JPEG的核心。
MATLAB仿真结果：
小波变换：
关于小波有两种典型的概念：连续小波变换 离散小波变换 连续小波变换定义为：
CWTf (a, b) x(t ), a ,b (t ) x(t ) a ,b (t )dt x(t ) a (
R R 1 2
t b )dt a
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩 因子b的函数
简单小波分解仿真：
小波变换除了能对图像进行压缩和去噪外，还 有许多应用，如：图像融合、数字水印、光滑处理、 图像增强等等。
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
小波分解过程
不同尺度和平移因子的小波
伸缩因子对小波的作用
sin(t)---a=1 1 0 -1 1 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 时间 t
morlet---a=1
0
2 4 6 sin(2t)---a=1/2
8
-5 0 5 morlet---a=1/2
离散余弦变换由来
●离散傅里叶变换（DFT for Discrete Fourier Transform） 是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的 时域采样变换为其DTFT的频域采样，其变换两端（时域和 频域上）的序列是有限长的。
●离散余弦变换（DCT for Discrete Cosine Transform ） 将一个原始的实数序列变成对称（反对称）序列，再对对 称（反对称）序列进行DFT变换，提取变换系数。即，离散 余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换， 这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的(因为一个实 偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数)，DCT有8种标准 类型，其中4种是常见的。
0.5
0.4 0.2 0 -1000
0 频 率 f/Hz
1000
小波的基本类型——多分辨分析
典型的正交小波——Meyer小波
( ) 3 j sin 1 e 2 2 2 2 3 1 j 2 cos 1 e 2 4 2 0 1
kTs
小波的基本类型——多分辨分析
典型的正交小波——Haar小波
Haar小 波 Haar小 波 频 谱 0.8 0.6
1 h(t ) 1 0
1 0t 2 1 t 1 2 其他
1.5 1
幅度 A
0 -0.5 -1 -1.5 0 0.5 时间 t 1
幅度 A
过程图：
离散小波变换DWT
定义：对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间 进行均匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
m 2
DWTx (m, n) x(t ), m ,n (t ) 2
j ln 2
1 2 3 4 5 6
R
x(t ) (2 m t n)dt
1 2 3 4 5 6
DCT 算法的编码过程主要包括以下几个步骤：
首先，将原始图像分成 8*8 大小的块，然后将这些 8*8 大小的块进行 DCT 变换，通过变换消除各个块像素间的 相关性；然后，按照量化表对变换后的系数进行量化，通 过采用量化来降低变换系数的精度，从而可以近一步的对 图像进行压缩；接着，将上步中量化后的小波系数采用熵 编码器进行编码处理；最后，输出图像压缩数据。 为什么采用8x8的图像块，其原因是由于计算量和像素 之间关系的数量，许多研究表明，在15或20个像素之后， 像素间的相关性开始下降。就是说，一列相似的像素通常 会持续15到20个像素那么长，在此之后，像素就会改变幅 度水平（或反向）。
式中，
二维离散余弦逆变换公式为
式中：
应用
离散余弦变换（DCT for Discrete Cosine Transform）是性能上最接近K-L（KarhunenLoeve ）最佳变换的变换，由于其相比离散 余弦变换很多有快速算法，便于实现，所以 经常被信号处理和图像处理使用，用于对信 号和图像进行有损数据压缩。
小波的工程应用——降噪
小波的工程应用——降噪
对图像小波降噪仿真
小波变换—音频分解
在数字图像处理中，需要将连续的小波及其小波变换离散化。一般 计算机实现中使用二进制离散处理，将经过这种离散化的小波及其 相应的小波变换成为离散小波变换（简称DWT）。实际上，离散小 波变换是对连续小波变换的尺度、位移按照2的幂次进行离散化得到 的，所以也称之为二进制小波变换。 对于许多信号，低频成分相当重要，它常常蕴含着信号的特征， 而高频成分则给出信号的细节或差别。人的话音如果去掉高频成分， 听起来与以前可能不同，但仍能知道所说的内容；如果去掉足够的 低频成分，则听到的是一些没有意义的声音。在小波分析中经常用 到近似与细节。近似表示信号的高尺度，即低频信息；细节表示信 号的高尺度，即高频信息。因此，原始信号通过两个相互滤波器产 生两个信号。
编码过程：
采用的8×8大小的子块的二维离散余弦变换。 首先，在编码器的输入端，把原始图像顺序地分割 成一系列8×8的子块，子块的数值在-128到127之 间。采用余弦变换获得64个变换系数。 变换公式：
式中： 二维DCT逆变换公式：
编码过程：
在MATLAB的图像处理工具箱中，可以直接 调用dct2和idct2来实现二维离散余弦变换及 其反变换。 (1) dct2 dct2函数实现图像的二维离散余弦变换， 其语法为： F=dct2(f)
离散余弦变换 （DCT—DISCRETE COSINE TRANSFORM）
1 一维离散余弦变换 正变换： f ( x)为一维离散函数， x 0， 1 ， ，N 1
反变换：
特点：（1）无虚数部分 （2）正变换核与反变换核一样
二维离散余弦变换
在傅里叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数， 那么，其傅里叶技术中只包含余弦项，在将其离散化由此 可导出余弦变换，或称之为离散余弦变换(DCT，Discrete Cosine Transform)。 二维离散余弦正变换公式为：
10
幅度 A
0 -1 1 0 -1
0
2 4 6 sin(4t)---a=1/4
8
-5 0 5 morlet---a=1/4
10
0
2
4
6
8
-5
0
5
10
平移因子对小波的作用
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸 缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不 同频率信号的逼近。
连续小波变换实现过程：
小波的工程应用——降噪
含噪信号
用小波变换作 多尺度分解 反演小波 变换
预处理
分尺度去噪
去噪后的信号
硬阈值
ˆ j ,k w
ˆ j ,k w
w j ,k { 0,
| wj ,k | | w j ,k |
软阈值
源自文库
sign(w j ,k ) (| w j ,k | ), | wj ,k | { 0, | w j ,k |
通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺 度下的小波与所对应的信号段的相似程度）； 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两 个步骤完成一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
基于离散余弦变换的图像压缩
彩色图像由像素组成，这些像素具有RGB彩色值。每个像 素都带有x，y坐标，对每种原色使用8x8或者16x16矩阵。在灰 度图像中像素具有灰度值，它的x，y坐标由灰色的幅度组成。 为了在JPEG中压缩灰度图像，每个像素被翻译为亮度或灰度 值。为了压缩RGB彩色图像，这项工作必须进行三遍，因为 JPEG分别得处理每个颜色成分，R成分第一个被压缩，然后是 G成分，最后是B成分。而一个8x8矩阵的64个值，每个值都带 有各自的x，y坐标，这样我们就有了一个像素的三维表示法， 称作控件表达式或空间域。通过DCT变换，空间表达式就转化 为频谱表达式或频率域。从而到达了数据压缩的目的。
离散余弦变换
是一种与傅立叶变换紧密相关的数学运算。在傅立叶级数展 开式中，如果被展开的函数式是偶函数，那么其傅立叶级数中 只包含余弦项，再将其离散化可导出余弦变换，因此称之为离 散余弦变换。
时间域中信号需要许多数据点表示；在x轴表示时间，在y轴 表示幅度。信号一旦用傅立叶变换转换到频率域，就只需要几 点就可以表示这个相同的信号。如我们已经看到的那样，原因 就是信号只含有少量的频率成分。这允许在频率域中只用几个 数据点就可以表示信号，而在时间域中表示则需要大量数据点。
2 3 4 3 其他
尺度函数
4 3 8 3
小波函数 1 0.5
1 0.8
幅度 A
0.4 0.2 0 -0.2 -5 0 时间 t 5
幅度 A
0.6
0
-0.5
-5
0 时间 t
5
小波的工程应用——降噪
小波降噪主要包括：小波模极大值降噪、基于小波系数尺 度间相关性的去噪法、小波阈值去噪法。其中以小波阈值降 噪方法最为经典。小波阈值降噪法的基本原理是，经小波变 换后得到的小波系数，包含信号本身信息和噪声信息，一般 情况下，随机噪声的小波系数非常小，这样可以设定一个阈 值，对小于该阈值的小波系数置零，然后利用处理后的小波 系数重构原信号即可实现降噪。根据阈值选择方法的不同， 可以分为硬阈值、软阈值和自适应阈值，也有些研究者在此 基础上对阈值函数进行了改进，提出了改进阈值函数。
DCT编码：
DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空 间冗余。变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到 系数空间(频域信号)上进行处理的方法。
在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特 定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分 布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量 化比特数，达到压缩的目的。图像经DCT变换以后，DCT系 数之间的相关性就会变小。而且大部分能量集中在少数的 系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用，是有损图 像压缩国际标准JPEG的核心。
MATLAB仿真结果：
小波变换：
关于小波有两种典型的概念：连续小波变换 离散小波变换 连续小波变换定义为：
CWTf (a, b) x(t ), a ,b (t ) x(t ) a ,b (t )dt x(t ) a (
R R 1 2
t b )dt a
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩 因子b的函数
简单小波分解仿真：
小波变换除了能对图像进行压缩和去噪外，还 有许多应用，如：图像融合、数字水印、光滑处理、 图像增强等等。
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
小波分解过程
不同尺度和平移因子的小波
伸缩因子对小波的作用
sin(t)---a=1 1 0 -1 1 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 时间 t
morlet---a=1
0
2 4 6 sin(2t)---a=1/2
8
-5 0 5 morlet---a=1/2
离散余弦变换由来
●离散傅里叶变换（DFT for Discrete Fourier Transform） 是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的 时域采样变换为其DTFT的频域采样，其变换两端（时域和 频域上）的序列是有限长的。
●离散余弦变换（DCT for Discrete Cosine Transform ） 将一个原始的实数序列变成对称（反对称）序列，再对对 称（反对称）序列进行DFT变换，提取变换系数。即，离散 余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换， 这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的(因为一个实 偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数)，DCT有8种标准 类型，其中4种是常见的。
0.5
0.4 0.2 0 -1000
0 频 率 f/Hz
1000
小波的基本类型——多分辨分析
典型的正交小波——Meyer小波
( ) 3 j sin 1 e 2 2 2 2 3 1 j 2 cos 1 e 2 4 2 0 1
kTs
小波的基本类型——多分辨分析
典型的正交小波——Haar小波
Haar小 波 Haar小 波 频 谱 0.8 0.6
1 h(t ) 1 0
1 0t 2 1 t 1 2 其他
1.5 1
幅度 A
0 -0.5 -1 -1.5 0 0.5 时间 t 1
幅度 A
过程图：
离散小波变换DWT
定义：对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间 进行均匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
m 2
DWTx (m, n) x(t ), m ,n (t ) 2
j ln 2
1 2 3 4 5 6
R
x(t ) (2 m t n)dt
1 2 3 4 5 6
DCT 算法的编码过程主要包括以下几个步骤：
首先，将原始图像分成 8*8 大小的块，然后将这些 8*8 大小的块进行 DCT 变换，通过变换消除各个块像素间的 相关性；然后，按照量化表对变换后的系数进行量化，通 过采用量化来降低变换系数的精度，从而可以近一步的对 图像进行压缩；接着，将上步中量化后的小波系数采用熵 编码器进行编码处理；最后，输出图像压缩数据。 为什么采用8x8的图像块，其原因是由于计算量和像素 之间关系的数量，许多研究表明，在15或20个像素之后， 像素间的相关性开始下降。就是说，一列相似的像素通常 会持续15到20个像素那么长，在此之后，像素就会改变幅 度水平（或反向）。
式中，
二维离散余弦逆变换公式为
式中：
应用
离散余弦变换（DCT for Discrete Cosine Transform）是性能上最接近K-L（KarhunenLoeve ）最佳变换的变换，由于其相比离散 余弦变换很多有快速算法，便于实现，所以 经常被信号处理和图像处理使用，用于对信 号和图像进行有损数据压缩。
小波的工程应用——降噪
小波的工程应用——降噪
对图像小波降噪仿真
小波变换—音频分解
在数字图像处理中，需要将连续的小波及其小波变换离散化。一般 计算机实现中使用二进制离散处理，将经过这种离散化的小波及其 相应的小波变换成为离散小波变换（简称DWT）。实际上，离散小 波变换是对连续小波变换的尺度、位移按照2的幂次进行离散化得到 的，所以也称之为二进制小波变换。 对于许多信号，低频成分相当重要，它常常蕴含着信号的特征， 而高频成分则给出信号的细节或差别。人的话音如果去掉高频成分， 听起来与以前可能不同，但仍能知道所说的内容；如果去掉足够的 低频成分，则听到的是一些没有意义的声音。在小波分析中经常用 到近似与细节。近似表示信号的高尺度，即低频信息；细节表示信 号的高尺度，即高频信息。因此，原始信号通过两个相互滤波器产 生两个信号。
编码过程：
采用的8×8大小的子块的二维离散余弦变换。 首先，在编码器的输入端，把原始图像顺序地分割 成一系列8×8的子块，子块的数值在-128到127之 间。采用余弦变换获得64个变换系数。 变换公式：
式中： 二维DCT逆变换公式：
编码过程：
在MATLAB的图像处理工具箱中，可以直接 调用dct2和idct2来实现二维离散余弦变换及 其反变换。 (1) dct2 dct2函数实现图像的二维离散余弦变换， 其语法为： F=dct2(f)
离散余弦变换 （DCT—DISCRETE COSINE TRANSFORM）
1 一维离散余弦变换 正变换： f ( x)为一维离散函数， x 0， 1 ， ，N 1
反变换：
特点：（1）无虚数部分 （2）正变换核与反变换核一样
二维离散余弦变换
在傅里叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数， 那么，其傅里叶技术中只包含余弦项，在将其离散化由此 可导出余弦变换，或称之为离散余弦变换(DCT，Discrete Cosine Transform)。 二维离散余弦正变换公式为：
10
幅度 A
0 -1 1 0 -1
0
2 4 6 sin(4t)---a=1/4
8
-5 0 5 morlet---a=1/4
10
0
2
4
6
8
-5
0
5
10
平移因子对小波的作用
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸 缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不 同频率信号的逼近。
连续小波变换实现过程：
小波的工程应用——降噪
含噪信号
用小波变换作 多尺度分解 反演小波 变换
预处理
分尺度去噪
去噪后的信号
硬阈值
ˆ j ,k w
ˆ j ,k w
w j ,k { 0,
| wj ,k | | w j ,k |
软阈值
源自文库
sign(w j ,k ) (| w j ,k | ), | wj ,k | { 0, | w j ,k |