什么是傅里叶级数

我们的提纲如下：

1. 为什么我们要分解一个函数

2. 傅里叶级数就是三角级数

2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量

2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求。————————————————————————

你是大学生吗？你学理工科吗？你还不知道傅里叶级数吗？你以为傅里叶和泰勒有什么亲戚关系吗？你一定听说过傅里叶展开和泰勒展开吧？展开的结果就是傅里叶级数和泰勒级数。他们是对一个函数的不同的【展开】方法。

【相信我，傅里叶分解其实巨简单！】

#【但是最开始的问题一定是：我们为什么要展开一个函数

一个函数：

y=1

他的泰勒展开是神马？还是y=1。

那么y=x的展开呢？

是y=x。

我们知道，泰勒展开是把函数分解成1, x, x^2, x^3, …等等幂级数的【和】。

就是【把一个函数变成几个函数的和】啊这个展开的式子就是泰勒级数啊

对函数的展开和5 = 2+3 一样一样一样的啊要多简单有多简单有木有啊

但是你要注意啊：

【展开的很多时候是有无限项不能穷尽的呀！】

你还记得sinx 的泰勒展开是什么吗？sinx = 0+ x – 1/3!x^3 + 1/5!x^5 -…

（如果系数错了可千万不要吐槽啊啊啊，lz是学渣记系数记不住啊）

【那么现在提问：】你知道为什么要展开成幂级数的和吗？请看这里：

因为我们把y展开成泰勒级数y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀呀呀！

这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊

所谓对函数的无限细分，就是不断求导，得到123456789阶变化率，从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊！还记得神马叫变化吗？位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。一句话，【变化就是导数啊】

【泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！！】

所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊——————————————————————————

喂不要再跑题啦啦！！我们是要说傅里叶级数的好不好！

你不认识傅里叶？没有任何关系，但是你见过三角形吗？知道三角函数吗？

傅里叶级数又叫三角级数啊。一句话就是【把一个函数y拆成三角函数的和】啊啊！！

神马，你还记得神马是三角函数吗？sinx,cosx等等。

那马展开成三角级数，简单！

y = sinx + sinx^2 + sinx^3…是这样吗

【楼主，这样真的没有问题吗】

【原谅楼主吧，上面的式子是错的】

当当当当！！下面才是傅里叶级数：：：

y= 1 + sinx +cosx +sin2x + cos2x + …..

【这才是傅里叶级数】

喂喂喂，这都是神马呀？【凭神马能拆成三角函数的和呀呀！！！】【为什么要是sinx、sin2x…呀呀呀】

亲，你知道的！只有【周期】函数才有傅里叶级数嗷嗷！！也就是说只有周期函数可以拆成三角函数的和呀呀！！

【神莫】你要问非周期函数肿么办？那你就要去了解【傅里叶变换】了。我变我变我变变变。任何一个比较正常（没有间断点的函数），基本上都可以进行傅里叶变换呀呀呀！！（←_←这句话的严谨性我才不保证【严谨】性）

好好好。我们就来解释一下傅里叶级数的形式：

我们来说一下【为什么要把周期函数拆成三角函数的和】这也是和【为什么要把一个函数拆成幂级数的和】一样本质的问题。

好，周期函数总有周期吧。

比如说，你在学唱歌，喊了一秒，歇一秒，再喊一秒，歇一秒。。。。你就一直从历史喊到了未来，永不停歇。这样你的发声便是一个周期为2秒的方波。（假设你的气息平稳，喊的声音大小是不变的，噢这真是难为你了。）

就像这样：（只看上半部分！！）

画图的这玩意儿叫MATLAB。好NB的赶脚。

你以为你的声音就仅仅是周期为2秒的方波这么简单吗？大错特错！

告诉你！你的声音是很多个不同频率的正弦波组成的（虽然你也可以认为方波而不是正弦波是组成世界的基础【哈哈这样的想法是对的！持有那样想法的人搞出来了沃尔什变换！就是用一系列周期为1/2^n的函数来模拟原来的函数。】）

那你知道你想知道为什么分解成三角函数的和（正弦波）那么重要吗？？

那是因为，我们知道，对于一个周期函数来说，和周期对应的叫频率。频率表示了周期性变化的快慢（比如说振动的快慢）。我们知道弹簧是有振动频率的、电磁波是有振荡频率的，光也是有频率的。

那么【频率就是这些物质的本质属性。】

（表忘了楼主成经是KB的垫纸男。。。）在电子学里，我们知道电容是隔直通交的。但是怎么一个“隔直通交”法呢？其实这就是电容对不同频率的电学量（比如电压和电流）的频率特性不同的体现。对于频率为0的电压，不论有多少电压，它的电流都为0，对于频率为为w（跟我一起念：【欧米茄】）的电压，会产生与w和电压U成正比的电流。所以说我们要把一个函数分成不同频率的分量。

【喂喂喂先等等，分解成不同频率没问题，那凭什么是正弦/余弦的频率呀】

【废话】因为正弦/余弦函数是【二阶偏微分方程】（就是含有电容等元件的电路方程）的【本！征！解！】。

【多说一下。。】这个世界上只有两种东（函）西（数）能够满足给自己求二阶导还是这种函数自己本身（仅相差常数系数和正负号），一种就是e^x，另一种就是sinx、cosx。（后人又在复数域里统一了他们成为e^z = e^x * e^yi)）别问我为什么。。。要问就问【e是什么】和【什么是欧几里得空间/为什么勾股定理成立】

所以呢，对于一个一般的物理量（电学量）来说，它可能不是正弦函数/余弦函数。但他们都是可以拆成不同频率的三角函数的组合的。【最为最为重要的是】，对于某种单频的三角函数，电路系统（或者多数其他物理系统），对【某种频率】的三角函数的输入的【【【响应】】】还是【同频率】的三角函数，只可能是相（前）位（后）或者幅（大）度（小）发生变化。【骚年！你终于知道神马叫上面说的【二阶偏微分方程的【本！征！解！】了吧！！只有e^x 和coswx, sinwx 响应才会是形式不变的呀呀！！】

好好好，又废了不少话。不过我们已经大工告成一半了。

【我们知道我们要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和】【而且系统对某种频率的【三】【角】【函】【数】的响应方式还是【同频率的三角函数】，所以响应也是对这些不同【三】【角】频率【响应的叠加】（这叫什么，这就叫频域分析，这就叫信号与系统！！）【我们又说多了摔。。】

我们回来看看下面这个真实的例子，这也是一个方波（只不过它是从正到负的，相当于我们之前的方波下移了1/2A【A是幅度】），下面好好欣赏一下彩图吧！我们可以看出来，它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x组成的。我们如果把一个方波放到一个电路里的话，它出来的绝不是方波，但却是对sinx,sin3x,sin5x,sin7x…分别的反馈的叠加（分别是系统对

sinx,sin3x,sin5x,sin7x的反馈的叠加…）。