利用三边判定三角形相似
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BC 2 AB AC ∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应 成比例的两个三角形相似)
例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， AB BC AC . AD DE AE
∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
解：∵ AB BC AC，∴ △ABC ∽△ADE (三边成 AD DE AE
北师版九年级数学上册 课件
第四章 图形的相似
4.4 探究三角形相似的条件
第3课时 利用三边判定三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进
行相关计算. (重点、难点)
导入新课
复习引入
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
2.4 D
E
1.8
A
4
B
2.1 F
C
3
3.5
A
4
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点，
∴ DE 1 AC，DF 1 BC，EF = 1 AB，
2
2
2
∴ DE DF = EF = 1， AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由.
正确的是
(C )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，
∴AB= 2 ，AC= 5，AD= 10 . ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. D
E
∴ AD DE AE . AB BC AC
B
C
A′
又 A' B' B'C' A' C' ，AD=A′B′， AB BC AC
∴ DE B' C'， AE A' C' . BC BC AC AC
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
A
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E， ∠BAD=∠CAE.
E
B
D
C
当堂练习
比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC
A
= ∠DAE －∠DAC，
B
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
C D
E
练一练
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出 图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
解：在 △ABC 和 △ADE 中，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
A
A′
B′
C′
B
C
A A′
B′
C′
B
C
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
证明:
在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， A
B′
C′
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
△A′B′C′ ∽△ABC.
归纳总结
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言： ∵ AB BC CA ，
AB BC CA ∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
典例精析
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 (C) A. 20 B. 27 C. 36 D. 45
A
D
B
CE
F
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三
角形的是
(C)
①
②
③
④
A. ①和② C. ①和③
B. ②和③ D. ②和④
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴ DE EF FD . AB BC CA
∴ △ABC ∽ △DEF.
归纳总结
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了 两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比 值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短 边对应.
练一练 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断
它们是否相似.
(1) AB =3， BC =4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 否
(2) AB=4， BC =8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； 是
(3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. 否
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′
= 90°，且 A' B' A' C' 1 . 求证：△ A′B′C′∽△ABC. AB AC 2
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2 － 4∴AB′CC′ =2 2=B′4C(′，A′BB′'C2－' A′1C′2 )A=' B4' B′CA′ '2C=' .( 2 B′C′ )2.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴ AB AD = BD = 2，
28
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
பைடு நூலகம்
31.5 21
42
C
课堂小结
利用三边判定两个三角形相似
三边成比例 的两个三角 形相似
相似三角形的判定定理的运用
课后作业
见《学练优》本课时练习
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获
得证明三角形相似的启发吗？
A
D
E
B
C
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 A' B' B'C' A' C' ， AB BC AC
A
P
BC
D
4. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似： AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm， A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm.
答案：不相似.
5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．
例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， AB BC AC . AD DE AE
∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
解：∵ AB BC AC，∴ △ABC ∽△ADE (三边成 AD DE AE
北师版九年级数学上册 课件
第四章 图形的相似
4.4 探究三角形相似的条件
第3课时 利用三边判定三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进
行相关计算. (重点、难点)
导入新课
复习引入
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
2.4 D
E
1.8
A
4
B
2.1 F
C
3
3.5
A
4
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点，
∴ DE 1 AC，DF 1 BC，EF = 1 AB，
2
2
2
∴ DE DF = EF = 1， AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由.
正确的是
(C )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，
∴AB= 2 ，AC= 5，AD= 10 . ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. D
E
∴ AD DE AE . AB BC AC
B
C
A′
又 A' B' B'C' A' C' ，AD=A′B′， AB BC AC
∴ DE B' C'， AE A' C' . BC BC AC AC
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
A
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E， ∠BAD=∠CAE.
E
B
D
C
当堂练习
比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC
A
= ∠DAE －∠DAC，
B
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
C D
E
练一练
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出 图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
解：在 △ABC 和 △ADE 中，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
A
A′
B′
C′
B
C
A A′
B′
C′
B
C
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
证明:
在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， A
B′
C′
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
△A′B′C′ ∽△ABC.
归纳总结
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言： ∵ AB BC CA ，
AB BC CA ∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
典例精析
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 (C) A. 20 B. 27 C. 36 D. 45
A
D
B
CE
F
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三
角形的是
(C)
①
②
③
④
A. ①和② C. ①和③
B. ②和③ D. ②和④
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴ DE EF FD . AB BC CA
∴ △ABC ∽ △DEF.
归纳总结
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了 两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比 值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短 边对应.
练一练 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断
它们是否相似.
(1) AB =3， BC =4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 否
(2) AB=4， BC =8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； 是
(3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. 否
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′
= 90°，且 A' B' A' C' 1 . 求证：△ A′B′C′∽△ABC. AB AC 2
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2 － 4∴AB′CC′ =2 2=B′4C(′，A′BB′'C2－' A′1C′2 )A=' B4' B′CA′ '2C=' .( 2 B′C′ )2.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴ AB AD = BD = 2，
28
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
பைடு நூலகம்
31.5 21
42
C
课堂小结
利用三边判定两个三角形相似
三边成比例 的两个三角 形相似
相似三角形的判定定理的运用
课后作业
见《学练优》本课时练习
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获
得证明三角形相似的启发吗？
A
D
E
B
C
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 A' B' B'C' A' C' ， AB BC AC
A
P
BC
D
4. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似： AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm， A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm.
答案：不相似.
5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．