平稳随机信号的功率谱-频域特征

应用截取函数
x(t) t T
xT (t)
0
t T
2021/1/17
7
当x(t)为有限值时，xT (t) 的傅里叶变换存在
X X (T ,)
xT
(t
)e
jt
dt
T x(t)e jt dt T
应用帕塞瓦等式
T x2 (t)dt 1
T
2
XX
(T , )
2d
除以2T
1
2T
T x2 (t)dt 1
2021/1/17
22
解：注意此时－ RX ( )d 不是有限值，即
不可积，因此RX ( ) 的付氏变换不存在，
需要引 入 函数。
SX
( )
RX
( )e i d
A2 2
cos(0 )e i d
A2 e j0 e j0 e j d
2
2
(cos(0 )
e j0
e j0 2
)
A2 （e j0 e j0）e j d
为:（注意xT t 、yT t 为确定性函数，所以
求平均功率只需取时间平均）
QXY
(T
)
1 2T
T
T xT (t) yT (t)dt
1
T
x(t) y(t)dt
2T T
由于xT t y、T t 的傅里叶变换存在，故
帕塞瓦定理对它们也适用，即:
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30
xT*
(t
)
yT
(t)dt
2
X
X
(
)e
jt
d
称X X ()为 x(t)的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅
谱 2021/1/17
4
相
常见的傅立叶变换
t 1 1 2
cos0t 0 0 sin0t j 0 0
et , t 0 1
j e t 2
2 2
e 2 j0t 2021/1/17
1
2
X
* X
(T
,)YY
(T
,)d
xT (t) yT (t)dt
1T
QXY (T ) 2T
x(t) y(t)dt
T
1
X
* X
(T
,)YY
(T
,)
d
2
2T
注意到上式中，x(t) 和y(t) 是任一样本函数， 因此具有随机性，取数学期望，并T令 得：
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31
lim
T
E[QXY
2T 2T
(1
2T
)
RX
(
)e
j
d
RX
(
)e
j
d
lim T
2T 2T
2T
RX
(
)e j d
RX
(
)e
j
d
(注意 RX (20)2绝1/1/对17 可积，第二项为0)
17
推论：对于一般的随机信号X(t)，有：
SX ()
A
RX
(t,
t
)
e
j
d
A
RX
(t,
t
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
平均功率为：
27
4. 功率谱密度可积，即 S X ()d
证明：对于平稳随机信号，有：
E[ X
2 (t)]
1
2
SX
( )d
平稳随机信号的均方值有限
S X ()d
2021/1/17
28
2.2 联合平稳随机信号的互谱密度
一、互谱密度
考虑两个平稳实随机信号X(t)、Y(t)， 它
们的样本函数分别为x(t) y和(t)
T T
T T
RX
(t2
t1 )e
j(t2 t1)dt1dt2
15
设 则 所以：
t2 T
t2 t1 u t2 t1
t1
u
2
t2
2
u
11
J
(t1 , t2 )
( , u)
2 1
2 1
1 2
22
u
2T
u 2T
u 2T
-T
-2T
t1
2T
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16
u 2T
u 2T
• x(t) 在(,)
范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x(t) 绝对可积，即 x(t)dt
2
有限个断点 断点为有限
• x(t) 信号的总能量有限，即 x(t) dt 值
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3
则x(t) 的傅里叶变换为：
X X ()
x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1
4
wenku.baidu.com
A2
2
[
(
0
)
(
0
)]
(e j0
2 ( 0 ))
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23
例4：设随机信号 Y (t) aX (t)sin0t
，a其,中0
皆为常数X，(t) 为具有功率谱密S度X () 的平
稳随机信号。求过Y (t程) 的功率谱密度。
解：RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )]
2 A
2021/1/17 2 2
21
例3：设X (t) 为随机相位随机信号
X (t) Acos(0t )
其中，A,0 为实常数 为随机相位，在(0,2 ) 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳
随机信号，自相关函数为
RX
( )
A2 2
cos(0 )
求X (t) 的功率谱密度SX () 。
➢对 SX () 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。
➢对于平稳随机信号，有：
E[ X
2 (t)]
1
2
SX
( )d
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13
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t) X ( j) 随机信号：平稳随机信号的自相关函数
功率谱密度。
1. 维纳—辛钦定理
若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ)
以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱 密度构成一对付氏变换，即：
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14
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
()e
j
d
我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ函数
2.
证明：
S
X
(
)
lim
T
E[
X
X (T 2T
,
)
截取函xT数t yT t 、 为：
，定义两个
x(t) t T
xT (t)
0
t T
y(t) t T
yT (t)
0
t T
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29
因为xT t yT、t 都满足绝对可积的条
件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范
围 (-T，T)内，两个随机信号的互功率QXY (T )
2
]
lim
T
1 2T
E[ X X
(T
,
)
X
*
X
(T ,)]
lim 1 T 2T
E[
T T
X (t1)e jt1 dt1
T T
X (t2 )e jt2 dt2 ]
lim 1 T 2T
T T
T T
E[ X
(t1) X
(t2 )]e
j(t2 t1)dt1dt2
1
lim 2021/1/17 T 2T
第 2章
平稳随机信号的谱分析
本章要解决的问题
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法?
❖傅里叶变换能否应用于随机信号？
❖相关函数与功率谱的关系
❖功率谱的应用
❖采样定理
❖白噪声的定义
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2
2.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有
RXY ( ) SXY ()
即
S XY ()
R
XY
(
)e
j
d
RXY
(
)
1
2
S
XY
()e
j
d
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34
三、互谱密度的性质
性质1： SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
lim
T
1 2T
T
T
E[ X
2
( t )]dt
1
2
SX
( )d
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函
数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：
SX () 2 RX ( ) cosd
2021/R1/X17(
)
1
SX () cosd
18
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
T
4T
XX
(T ,)
2d
取集合平均
20E21/12/11T7
T T
x2
(t)dt
E
1
4T
X
X
(T ,)
2
d
8
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次
序
存在
非负
lim
T
1 2T
T
T
E[ X
2 (t)]dt
1
2
lim
T
E[
X
X (T ,)
2T
2]
d
功率
SX ()
Q
Q
lim
T
GX
()
2S
X ()
0
0 0
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X(t)变换的功率谱密度
X t
RX
aX t
a2RX
dX t
dt
d 2RX
d 2
d n X t
dt n
1 2n
d
2n RX
d 2n
X t e j0t
RX e j0t
SX a2S X 2SX
2nSX SX 0
0
5
2. 帕塞瓦等式
[x(t)]2 dt
x(t) 1
2
X
X
()e
jt
ddt
1
2
X
X
()
x(t)e
jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
(
)d
1
2
XX
()
2d
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
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6
能量谱密 度
二、随机信号的功率谱密度
a2 a2
22
2 0
2
cos
(20t
2
)d
a2 2
a2
2
sin(20t
2) 2 0
a2 2
a2
sin 20t
X 2(0t2)1不/1/1是7 宽平稳的
11
Q A E[ X 2 (t)]
lim
1
T 2T
T T
a2 (
2
a2
sin
20t)dt
a2 2
2021/1/17
12
➢功率谱密度：SX () 描述了随机信号X(t)的 功率在各个不同频率上的分布—— SX ()称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
则 S
X
(
)
lim
T
1 2T
{
2T d
0
2T 2T
12RX
(
)e
j du
0 d
2T
2T 2T
12RX
(
)e
j du}
lim{ 1 T 2T
2T
d
2T
2T 2T
1 2
RX
(
)e
j
du}
lim 1 T 2T
2T 2T
(2T
)RX
(
)e
j d
lim T
2
Q 1
2
S X ()d
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10
例1：设随机信号 X (t) 中 皆是实常数，
（a0是c，o2服s）(从0t
)
，a其和0 上均匀
分布的随机变量，求随X (机t) 信号
的平均功
解率：。 E[ X 2 (t)] E[a2 cos2 (0t )]
a2 E{
2
[1
cos(20t
2)]}
(T
)]
QXY
lim E[ 1 T 2T
T
T
x(t) y(t)dt]
1T
lim [ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T ,)YY
(T ,)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
SXY ()
lim
T
1 2T
E[
X
* X
(T ,)YY (T ,)]
则
1
QXY 2
E[aX (t) sin 0t aX (t ) sin 0 (t )]
a2 2
RX
( )[cos 0t
cos(20t
0 )]
SY ()
A
RY
(t, t
)
e
j d
a2 2
RX ( ) cos0e jd
a2 4
[SX
(
0 )
SX
(
0 )]
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例5：设随机信号 X (t) ae jt
jt
dt
*
xT
(t
)e
jt
dt
xT
(t
)e
j
(
)t
dt
X X (T ,)
X
X
(T ,)
2
X
X
(T ,)
X
* X
(T ,)
X
X
(T ,)
X
X
(T ,)
X
* X
(T ,) X X (T ,)
XX
2
(T ,)
又
S
X
(
)
lim
T
E[
X
X (T 2T
,)
2
]
S2X02(1/1/)17 S X ()
SXY ()d
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32
同理，有：
SYX
()
lim
T
1 2T
E[YY*(T ,) X X
(T ,)]
QYX
1
2
SYX ()d
且
QXY QYX
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33
二、互谱密度和互相关函数的关系
对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的 实随机信号，它们的互谱密度与其互相关函 数互为傅里叶变换。
证明：
SX
()
lim T
E[
X X (T ,)
2T
2]
X X (T,) 2 0
SX () 0
2. 功率谱密度是 的实函数
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26
3. 对于实随机信号来说，功率谱密度是 的偶函数，
即 SX () SX ()
证明： xT (t) 是实函数
X
* X
(T
,
)
xT
(t
)e
1 2T
T
T
E[ X
2 (t)]dt
1
2
SX
( )d
注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量
（2）SX () 为确定性实函数。
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9
两个结论：
1 Q A E[ X 2(t)] A . lim 1 .
若平稳
表示T 时间2T平
均
Q A E[ X 2 (t)] E[ X 2 (t)]＝RX (0)
，其Ω中
是概率密度f 为
的随机变量，a和φ为实
常数，求X(t)的功率谱密度。
RX ( ) E X *tX t
a2E e j
a2
f
e j d
RX
(
)
1
2
SX
e j d
S 2021/1/17 X
2a2 f
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四、平稳随机信号功率谱密度的性质
1. 功率谱密度为非负的,即SX () 0
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20
例2：平稳随机信号的自相关函数 RX ( ) Ae
为 0
，A>0，
，求过程的功率
谱密度。
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
SX ()
0 Ae e j d
Ae e j d
0
Ae( j) 0 A e ( j)
j
( j)
0
A
1
j
1
j