2020届上海市进才中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020届上海市进才中学高三上学期第一次月考
数学试题
一、单选题
1．函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数
12
log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是（ ）
A ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ．()2log 2y x =
C ．()2log 1y x =+
D ．21
2x y -=
【答案】D
【解析】试题分析：A 选项12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭关于y x =对称的函数是12
log y x =.B 选项
()22log 21log y x x ==+，先向下平移一个单位得到2log y x =图象，然后关于x 轴
对称翻折，得到12
log y x =.C 选项先向右移动一个单位得到2log y x =图象，然后关于
x 轴对称翻折，得到12
log y x =.故选D.
【考点】函数图象变换.
【思路点晴】本题主要考查函数图象变换，考查指数函数和对数函数互为反函数.选择题采用逐一排除法.首先考查A 选项，选项中的函数和12
log y x =互为反函数，图象关
于y x =对称，所以翻折后可以重合.接着考查B 选项，首先利用对数运算化简()22log 21log y x x ==+，
然后通过先下平移，再关于x 对称，得到12
log y x =图象.C 也是同样的做法，先平移然后对称变换得到12
log y x =.
2．ABC △中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】先判断是否充分：化简cos sin cos sin A A B B +=+后能否得到结论：等腰三角形；再判断是否必要：由等腰三角形是否能得到cos sin cos sin A A B B +=+，据此得到条件类型. 【详解】
因为cos sin cos sin A A B B +=+，所以1sin 21sin 2A B +=+，所以A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形是等腰或者直角三角形，所以不充分；
又因为当三角形是等腰三角形时，取,4
2
A C
B π
π
==
=
，此时
cos sin cos sin A A B B +≠+，所以也不必要，
故为：既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】
充分、必要条件的判断要从两方面入手：充分性和必要性.充分性是条件能否推出结论的过程，必要性是结论能否推出条件的过程，判断时两者缺一不可. 3．已知实数0a >，0b >，对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：
①“()f x 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称”； ②“()f x 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ，都有
()()f x a f x -=-”；
④“函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =”
其中正确命题的序号是（ ） A.①② B.②③
C.①④
D.③④
【答案】A
【解析】①根据奇函数的定义判断；②根据偶函数的定义判断；③根据周期性的定义判断；④根据对称性定义判断. 【详解】
①：因为()y f x a =-图象是由()y f x =向右平移a 个单位得到的，所以()f x 是奇函数⇔()f x 图像关于原点对称⇔函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称，故正确；
②：由①同理可知:()f x 是偶函数⇔()f x 图像关于y 轴对称⇔函数()f x a -的图像关于直线x a =对称，故正确；
③：设()2f x =，2a 是()f x 的一个周期，所以()()2,2f x a f x -=-=-，所以
()()f x a f x -=-不成立，故错误；
④：设()0f x =，所以()0f x a -=，()0f b x -=，此时()f x a - 与()f b x -的图象关于y 轴对称，但是a b =不一定成立，故错误； 所以正确命题序号为：①②. 故选：A. 【点睛】
常见的函数对称轴和对称中心的判断：
（1）若()()2f a x f x -=，则()f x 的一条对称轴为x a =； （2）若()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 的一个对称中心为：,2a b c +⎛⎫
⎪⎝⎭
.
4．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A.(sin 2)sin f x x = B.2
(sin 2)f x x x =+ C.2
(1)1f x x +=+ D.2
(2)1f x x x +=+
【答案】D 【解析】A ：取
，可知，即
，再取
，可知
，即
，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取
，可
知
，再取
，可知
，矛盾，∴C 错误，D ：令，
∴
，符合题意，故选D.
【考点】函数的概念
二、填空题
5．函数sin (0)3y x πωω⎛
⎫
=-> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是π，则ω=______. 【答案】2
【解析】根据周期的计算公式2T ω
π
=，代入周期即可得到ω的值.
【详解】
因为2T ω
π
=
，所以222T ππωπ
=
==. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.2T ω
π
=知道其中一个量即可求解另
一个量.
6．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧
⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，则A B =I ______. 【答案】()1,2-
【解析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果. 【详解】
因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；
又因为
2
04x x -<+，所以()()4204
x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I . 故答案为：()1,2-. 【点睛】
解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集. 7．方程lg lg(3)1x x ++=的解x =______. 【答案】2
【解析】首先根据对数的真数大于零得到：030x x >⎧⎨+>⎩
，然后根据对数运算法则可知：
()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，据此求解出x 的值.
【详解】
因为0
30x x >⎧⎨+>⎩
，所以()0,x ∈+∞；
又因为()lg lg(3)lg 3x x x x ++=+⎡⎤⎣⎦，所以()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，所以()310x x +=，解得：2x =或5x =-，又因为()0,x ∈+∞，所以2x =. 故答案为：2. 【点睛】
解对数方程时，第一步应该根据对数式的真数大于零先确定未知数的范围，然后再利用对数的运算性质对方程进行化简，最后完成求解.
8．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1,93⎛⎫
⎪⎝⎭，则该幂函数的
解析式()f x =______. 【答案】()12
0x
x ->
【解析】设出幂函数解析式，由于点1,93⎛⎫
⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以可知19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
在
幂函数()f x 图像上，由此可求解出()f x . 【详解】
设()f x x α
=，因为点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以()f x 图像经过19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以193α
=，解得：12
α=-，所以()()120f x x x -
=>.
故答案为：()1
2
0x x -
>.
【点睛】
本题主要考查反函数与原函数的关系，难度较易.互为反函数的两个函数的图像关于
y x =对称.
9．函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向左平移3
π
单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为______. 【答案】
56
π 【解析】先通过平移变换得到新的函数解析式，然后根据新函数为奇函数得到关于ϕ的等式，由此确定ϕ的最小正值. 【详解】
因为()f x 向左平移3π
单位后得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
且()g x 为奇函数， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z π
ϕπ=-∈，又因为0ϕ>，所以当1k =时有min 56π
ϕ=.
故答案为：56
π
.
【点睛】
本题考查根据三角函数的奇偶性求解参数的最值，难度一般.若()()sin f x x ωϕ=+为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈，若()()sin f x x ωϕ=+为偶函数，则有,2
k k Z π
ϕπ=+
∈.
10．若集合A 、B 、C 满足A B B C ⋃=⋂，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ¹；④A =∅中一定成立的有______.（填写你认为正确的命题序号） 【答案】①
【解析】通过A B B C ⋃=⋂发现等式的两边都有集合B ，根据交、并集运算特点可知A B B C B ⋃=⋂=，由此利用集合间运算的性质判断出各结论是否一定成立 【详解】
因为A B B C ⋃=⋂，所以A B B C B ⋃=⋂=， 由A B B ⋃=可知A B ⊆；由B C B =I 可知B C ⊆， 因此可得：A B C ⊆⊆，
故①一定成立，②不一定成立；A C ¹不一定成立，A =∅也不一定成立，所以③④不一定成立；
故一定成立的只有：①. 故答案为：①. 【点睛】
本题考查根据集合间的运算结果判定集合间的关系，难度一般.交、并集运算的性质：若A B A ⋃=，则B A ⊆；若A B A =I ，则A B ⊆
11．偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，则满足1
(21)()3
f x f -<的x 的取值范围是_____． 【答案】
1233
x << 【解析】因为函数f （x ）为偶函数，所以f （|x|）=f （x ），所以要求 f(2x-1)＜f(1
3
)的解集，等价于求解：f （|2x-1|）＜f （|
13|）的解集，等价于：|2x-1|＜1
3
，解得：
13＜x ＜23，故答案为1233
x <<。

12．当01x ≤≤时，如果关于x 的不等式||2x x a -<恒成立，那么a 的取值范围是______. 【答案】()1,3-
【解析】分别考虑0x =和0x ≠的情况，对于0x ≠时将不等式进行变形：2
||x a x
-<，通过对a 的范围的分类讨论确定出a 的取值范围. 【详解】
当0x =时，有02<成立；
当0x ≠时，不等式变形为2
||x a x -<
，且2y x
=在(]0,1上单调递减且有最小值2， 当[]0,1a ∈时，||1x a -≤，所以2
||x a x
-<成立；
当1a >时，y x a a x =-=-，则只需：12a -<，所以13a <<； 当0a <时，y x a x a =-=-，则只需：12a -<，所以1a >-， 综上可知：()1,3a ∈-. 故答案为：()1,3-. 【点睛】
本题考查绝对值不等式背景下的不等式恒成立问题以及分类讨论思想的应用，难度一般.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：通过对参数分类，然后讨论分类成立的条件对应的参数范围；（2）参变分离法：将参数与x 分离开来，构建新的函数或者利用不等式，讨论最值与参数的大小关系.
13．若函数lg 1
1()sin 0
x x f x x
x ⎧->=⎨
<⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有
______对. 【答案】4
【解析】作出()f x 的图象，考虑0x >时sin y x =与lg 1y x =-的交点个数，再根据()f x 图象本身过原点()0,0确定出对称点的对数. 【详解】
作出()f x 图象如图所示：（绿色部分为0x >时sin y x =的图象）
由图象可知：0x >时sin y x =与lg 1y x =-有3个交点，又因为()f x 的图象过原点，所以关于原点O 对称的点共有4对. 故答案为：4. 【点睛】
数形结合方法的命题角度有：
（1）确定方程的根的个数或者函数的零点个数； （2）求解参数的取值范围；
（3）研究函数的单调性、奇偶性、对称性，周期性.
14．已知、b 、都是实数，若函数的反函数的定义域是，
则的所有取值构成的集合是________ 【答案】
【解析】结合函数的定义域判断其值域，由反函数的定义域为，可得函数
的值域为，即可得出结果.
【详解】
由其定义域为
，因为，所以，
(1)当，由解析式可得， 当时，
；
当时，，
即
的值域为
；
又函数的反函数的定义域是，
所以函数
的值域为
，因为、b 、都是实数，可以大于；
因此值域可以为
，不满足题意；
（2）当时，由解析式可得：
当时，
； 当时，
， 即
的值域为
；
同（1）可知：函数的值域必须为
，因为、b 、都是实数，
可以大于，
因此
符合题意；
综上：的所有取值构成的集合是.
故答案为
【点睛】
本题主要考查分段函数与反函数的问题，熟记函数的性质即可，属于常考题型. 15．对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如 2.83〈〉=，31〈-〉=-，
44〈〉=.若x ∈R ，则方程1
3122
x x 〈+〉=-的根为______.
【答案】9744
--， 【解析】设2x 12-=k ∈Z ，则214k x +=，3x +1＝k +123
4
k ++，于是原方程等价于
23
14
k +=-，从而可得k ＝﹣5或﹣4，求出相应的x ，即为方程的根. 【详解】
设2x 12-=k ∈Z ，则214k x +=，3x +1＝k +1234
k ++， 于是原方程等价于2314k +=-，即23
214
k +-≤-＜， 从而117
22
k -≤-＜，即k ＝﹣5或﹣4．
相应的x 为97
44--，．所以方程根为：9744--，. 故答案为：9744
--，. 【点睛】
本题考查新定义背景下函数与方程的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，考查转化能力，属于中档题．
16．已知集合[][],14,9A t t t t =+++U ，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有
A a
λ∈，则t 的值是____________
【答案】1或3-
【解析】根据t 所处的不同范围，得到[],1a t t ∈+和[]
4,9a t t ∈++时，
a
λ
所处的范围；再利用集合A 的上下限，得到λ与t 的等量关系，从而构造出方程，求得t 的值. 【详解】
0A ∉Q ，则只需考虑下列三种情况：
①当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++U
11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣
⎦U 又0λ> ,,941a t t t t λ
λ
λλλ⎡⎤⎡⎤⇒
∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦
U A a λ∈Q 914t t t t λλ⎧≥⎪⎪+∴⎨⎪≤+⎪+⎩且41
9t t t t
λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩
可得：()()(
)()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨
++≤≤++⎪⎩ ()()()914t t t t λ∴=+=++ 1t ⇒=
②当90t +<即9t <-时，与①构造方程相同，即1t =，不合题意，舍去 ③当10
40
t t +<⎧⎨
+>⎩即41t -<<-时
可得：11t t t t λλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩且49
94t t t t λ
λ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪+⎩
()()()149t t t t λ∴=+=++ 3t ⇒=-
综上所述：1t =或3- 【点睛】
本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与
a
λ
所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.
17．已知函数2
()32f x x ax b =--，其中,a b ∈R . （1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求a 与b 的值； （2）若3b a =，求同时满足下列条件的a 的取值范围. ①对任意的x ∈R 都有()0f x ≥恒成立； ②存在实数x ，使得2
()23
f x a ≤-成立. 【答案】（1）9a =，0b = （2）[9,6][1,0]a ∈--⋃-
【解析】（1）根据一元二次不等式的解集的端点值是对应函数的零点，列出关于,a b 方程组完成求解；
（2）将b 用3a 替换，若要满足条件①只需对应的0∆≤即可，如要满足条件②只需要
()min 2
23
f x a ≤-，据此列出不等式完成求解.
【详解】
（1）因为()0f x ≤的解集是[]0,6，所以有()()
006108120f b f a b ⎧=-=⎪
⎨
=--=⎪⎩，解得：90a b =⎧⎨
=⎩； （2）因为3b a =，所以()2
323f x x ax a =--，
因为对任意的x ∈R 都有()0f x ≥恒成立，所以24360a a ∆=+≤，解得：90a -≤≤；
又因为存在实数x 使得2()23f x a ≤-成立，所以()2min 333a a f x f a ⎛
⎫==-- ⎪⎝⎭，所以22
233
3a a a ≤---，解得：6a ≤-或1a ≥-， 综上可知：[][]9,61,0a ∈---U . 【点睛】
（1）一元二次不等式()2
00ax bx c a ++<≠的解集为()12,x x ，则12,x x 为对应的二次
函数的零点；
（2）存在性问题：存在实数x 满足()f x M ≤（()f x M ≥），则只需要：()min f x M ≤（()max f x M ≥）.
三、解答题
18．已知函数21
()ax f x x b
+=+的图像过点()1,2，且函数图像又关于原点对称.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若关于x 的不等式()(2)(4)xf x t x t >-+-在()0,∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）21
()x f x x
+=
（2）4t <
【解析】（1）由对称性可知()1,2--也在函数()f x 图象上，据此列出方程组求解出,a b 的值；
（2）利用分离参数法将不等变形，然后根据基本不等式求解最值确定t 的取值范围. 【详解】
（1）依题意，函数()f x 的图象过点()1,2和()1,2--.
所以1(1)221111210(2)21a f a b a b a a b b f b +⎧
==⎪-==⎧⎧⎪+⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩
⎩⎪-==-⎪-+⎩
，故21
()x f x x +=.
（2）不等式()(2)(4)xf x t x t >-+-可化为2
25(1)x x x t ++>+.
即2251
x x t x ++<+对一切的()0,x ∈+∞恒成立.
因为22541411
x x x x x ++=++≥++，当且仅当1x =时等号成立，所以4t <.
【点睛】
根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围. 19．已知
分别在射线
（不含端点）上运动，
，在
中，角
所对的边分别是
.
（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值； （Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值
【答案】（1）
或
.（2）
，
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，
,
可得恒等变形得c 2-9c+14=0，再结合c ＞4，可得c 的值．
（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=，△ABC 的周长f （θ）
=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f （θ）
取得最大值．
试题解析：（Ⅰ）∵a、b 、c 成等差，且公差为2，∴a=c -4、b=c-2． 又因∠MCN=π，
,可得
,
恒等变形得c 2-9c+14=0，解得c=7，或c=2． 又∵c＞4，∴c=7．
（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得
.
∴△ABC 的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
,
又,
当
,即
时，f （θ）取得最大值
.
【考点】1.余弦定理;2．正弦定理 20．已知22()1
x m f x x -=
+定义在实数集R
上的函数，把方程1
()f x x =称为函数()f x 的
特征方程，特征方程的两个实根,()αβαβ<称为()f x 的特征根 （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()f f βα-的表达式；
（3）把函数(),[,]y f x x αβ=∈的最大值记作()max f x ，最小值记作()min f x .
令()max ()min ()g m f x f x =-，若()g m ≤λ的取值范围. 【答案】（1）0m =时，22()1x f x x =+是奇函数；0m ≠时，2
2()1
x m
f x x -=+是非奇非偶函数
（2）()()f f βα-=（3）2λ≥
【解析】（1）对m 进行分类讨论：0m =，0m ≠，然后根据定义判断奇偶性； （2）将1
()f x x
=
变形为一元二次方程，根据>0∆确定,()αβαβ<满足的韦达定理形式，再根据1
1
()()f f βαβ
α
-=
-
并代入相关韦达定理形式完成计算；
（3）先用定义法确定函数()f x 在[],αβ上的单调性，由此计算出()g m 的结果，然后采用分离参数法计算出λ的取值范围. 【详解】
（1）()f x 定义域为R 关于原点对称，0m =时，2
2()1
x
f x x =
+是奇函数； 0m ≠时，2
2()1
x m
f x x -=
+是非奇非偶函数. 证明：当0m =时，2
()()()1
x
f x f x x --=
=--+，故()f x 是奇函数； 当0m ≠时，显然()00f m =-≠，所以()f x 不是奇函数；又因为()2
21
x m
f x x ---=
+，所以()()f x f x -=不恒成立，所以()f x 不是偶函数；故()f x 为非奇非偶函数. （2）21
()10f x x mx x
=
⇒--=，由2m 40∆=+>，所以方程必有两个不等实根. m αβ+=，1αβ=-，所以
11()()f f αβ
βαβαβα
αβ
--=
-=
=-==（3）首先证明函数()f x 在[],x αβ∈上是单调递增函数.
设任意的12,x x 满足12x x αβ<<<，
()()()()()()
21121221212222
212122221111x x m x x x x x m x m f x f x x x x x -+-+⎡⎤--⎣⎦-=-=++++ 因为()222
1112122
2
2102010x mx x x m x x x mx ⎧--<⇒+-+-<⎨--<⎩， 所以()()22
121212
222112220m x x x x x x x x x x +-+>+=->-，
所以()()210f x f x ->，故()f x 在[],x αβ∈内单调递增，
可得，()g m =
≤
λ⇒≥=
2≤=，取等号时0m =， 所以，2λ≥ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性证明、函数与方程、根据不等式恒成立求解参数范围的的综合应用，难度较难.
（1）韦达定理的几个重要变形：
12x x -=
()()22
1212124x x x x x x =++-；
（2）依据不等式恒成立求解参数范围时注意注意分类讨论法和参变分离法的选择. 21．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合
A 中的任意元素()12,,,n x x x α=L 和()12,,,n y y y β=L ，记 M （αβ，）=
()()()111122221
2
n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦L ． （Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值； （Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素
,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．
【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)
【解析】【详解】
（Ⅰ），。

（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，
相应的分别为、、、，
所以中的每个元素应有奇数个，
所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
、、、，
、、、，
对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，
所以集合、、、满足题意，
假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，
则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，
故中元素个数的最大值为。

（Ⅲ）
，
此时中有个元素，下证其为最大。

对于任意两个不同的元素，满足，
则，中相同位置上的数字不能同时为，
假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，
此时不满足题意，
故中最多有个元素.。