驻波中各点的相位
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解：（1） y y 1 y 2 0 .1 2 c o s ( π x )c o s ( 4 π t) m
所以绳索上的振动是驻波。
波节位置： cosπx0 πx(2k1)π 2
x(k0.5)m(k0， 1， 2.....) 波腹位置： cosπx1πx(2k)π
2 xkm (k0， 1， 2.....)
dλ1.250.625m 22
（3）振动速度
p p p v y 0 . 0 3 5 5 0 c o s ( 1 . 6 x ) s i n ( 5 5 0 t ) t
v(0 .0 2 ,0 .0 0 3 )
1 6 .5 p c o s(1 .6 0 .0 2 p)sin (5 5 0 p 0 .0 0 3 )
λ 4
O
λ
λ
3λ
4
2
4
x
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ弦线上的驻波
驻波条件：弦线长度等于半波长的整数倍时形成 驻波。
Lnλn ,n1,2 2
两端固定
n1
n2
n3
n4
驻波条件也可以写成：
νn
n u 2L
n1,2,...
这些频率叫弦振动的本征频率。
n=1时，ν 1 称为基频。
n=2,3,…对应的频率ν2 , ν3 ,K 称为二次、三次…谐频。
三、波的反射(reflection)和折射(refraction)
反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质 的分界面时，波的一部分在界面返回，形成反射波 ，另一部分进入另一种介质形成折射波。
i
n1 A
i
u2t
n2 r D
C
u1t u1t 2
rB
折射定律：
sini CB AD sinr AB AB
注：由于驻波的波形和能量都“不传播”，因此驻 波并不是一个波动，而是一种特殊形式的振动。
例1、两波在同一绳索上传播，它们的方程分别为：
y 1 0 .0 6 c o s(π x 4 π t)m , y20 .0 6co s(π x4 π t)m
（1）证明绳索作驻波式振动，并求节点和波腹的位置。 （2）波腹处的振幅多大？在x=1.2m处振幅多大？
多普勒效应：波源或观察者相对于介质运动， 使观察者接收到的波的频率发生变化的现象。
(1) 波源不动，观察者以速度up相对于介质运动
νp
=
u+ up u
νs
(2)观察者不动，波源以速度us相对于介质运动
u ν p = u - us νs
(3)观察者与波源同时相对介质而运动
波源与观察者相向运动时
νp =
u1t u2t
u1 u2 n2 n1
i
i¢
反射定律： i ¢= i
§4.6 声波 可闻声波：20Hz < ν < 20000Hz 超声波： ν > 20000Hz 次声波： ν < 20Hz 声强级： L = 10lg I (dB) I0 其中，I0=10-12 W/ m2
§4.7 多普勒效应
当波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍 物的边缘，在障碍物的阴影区域内继续传播，这种 现象称为波的衍射。
波在窄缝的衍射效应
·
a·
·
·
说明： 衍射现象显著与否，和障碍物的大小与波长之
比有关，当障碍物的宽度远大于波长时，衍射现象 不明显；
当障碍物的宽度与波长差不多时衍射现象比较 明显；当障碍物的宽度远小于波长时，衍射现象更 加明显。
（2）波腹处 cos πx 1 A0.12cosπx0.12m
x=1.2m处
A 0.12cos1.2π0.097m
例2、一弦上的驻波方程 y 0 .0 3 c o s ( 1 .6 π x ) c o s ( 5 5 0 π t) m 若将它看成是由传播方向相反、振幅和波速相等的 两列波相干叠加而成。 （1）求振幅和波速。 （2）求相邻波节之间的距离。 （3）求t=0.003s 时位于x=0.02m处质点的振动速度。
u+ u-
up us
νs
波源与观察者背离而去时
νp =
uu+
up us
νs
光是电磁波，也有多普勒效应，当光源远离接 收器时，接收到的频率变小，因而波长变长，这 种现象叫做“红移”,反之叫“蓝移”。
解： （1） y0.03cos(1.6πx)cos(550πt)
20.015cos(2πx)cos( 2π t) 1.25 0.00364
振幅 A=0.015m, 波长 λ=1.25m, 周期 T=0.00364s
波速 uλ 1.25 343.4m /s T 0.00364
（2）相邻波节之间的距离
46.0m/s
§4.5 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射 一、惠更斯原理
1678年，荷兰物理学家惠更斯提出：介质中 波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源， 而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的 波前。
t + t
t·· · · ·
·
·
·
·
·
·
·
· ·
t t+t
平面波
球面波
二、波的衍射(diffraction of waves)
§4.4 波的干涉
（2）驻波中各点的相位
y2Acos2πxcos2πt λT
振幅项 2 A co可s 2正π 可x 负,时间项
cos 2π t
对波线上所有质点有λ 相同的值，表明驻波上相T 邻波
节间质点振动相位相同，波节两边的质点的振动有
相位差p 。其波形既不左移也不右移，因此叫驻波。
y
3λ 4
λ 2
所以绳索上的振动是驻波。
波节位置： cosπx0 πx(2k1)π 2
x(k0.5)m(k0， 1， 2.....) 波腹位置： cosπx1πx(2k)π
2 xkm (k0， 1， 2.....)
dλ1.250.625m 22
（3）振动速度
p p p v y 0 . 0 3 5 5 0 c o s ( 1 . 6 x ) s i n ( 5 5 0 t ) t
v(0 .0 2 ,0 .0 0 3 )
1 6 .5 p c o s(1 .6 0 .0 2 p)sin (5 5 0 p 0 .0 0 3 )
λ 4
O
λ
λ
3λ
4
2
4
x
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ弦线上的驻波
驻波条件：弦线长度等于半波长的整数倍时形成 驻波。
Lnλn ,n1,2 2
两端固定
n1
n2
n3
n4
驻波条件也可以写成：
νn
n u 2L
n1,2,...
这些频率叫弦振动的本征频率。
n=1时，ν 1 称为基频。
n=2,3,…对应的频率ν2 , ν3 ,K 称为二次、三次…谐频。
三、波的反射(reflection)和折射(refraction)
反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质 的分界面时，波的一部分在界面返回，形成反射波 ，另一部分进入另一种介质形成折射波。
i
n1 A
i
u2t
n2 r D
C
u1t u1t 2
rB
折射定律：
sini CB AD sinr AB AB
注：由于驻波的波形和能量都“不传播”，因此驻 波并不是一个波动，而是一种特殊形式的振动。
例1、两波在同一绳索上传播，它们的方程分别为：
y 1 0 .0 6 c o s(π x 4 π t)m , y20 .0 6co s(π x4 π t)m
（1）证明绳索作驻波式振动，并求节点和波腹的位置。 （2）波腹处的振幅多大？在x=1.2m处振幅多大？
多普勒效应：波源或观察者相对于介质运动， 使观察者接收到的波的频率发生变化的现象。
(1) 波源不动，观察者以速度up相对于介质运动
νp
=
u+ up u
νs
(2)观察者不动，波源以速度us相对于介质运动
u ν p = u - us νs
(3)观察者与波源同时相对介质而运动
波源与观察者相向运动时
νp =
u1t u2t
u1 u2 n2 n1
i
i¢
反射定律： i ¢= i
§4.6 声波 可闻声波：20Hz < ν < 20000Hz 超声波： ν > 20000Hz 次声波： ν < 20Hz 声强级： L = 10lg I (dB) I0 其中，I0=10-12 W/ m2
§4.7 多普勒效应
当波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍 物的边缘，在障碍物的阴影区域内继续传播，这种 现象称为波的衍射。
波在窄缝的衍射效应
·
a·
·
·
说明： 衍射现象显著与否，和障碍物的大小与波长之
比有关，当障碍物的宽度远大于波长时，衍射现象 不明显；
当障碍物的宽度与波长差不多时衍射现象比较 明显；当障碍物的宽度远小于波长时，衍射现象更 加明显。
（2）波腹处 cos πx 1 A0.12cosπx0.12m
x=1.2m处
A 0.12cos1.2π0.097m
例2、一弦上的驻波方程 y 0 .0 3 c o s ( 1 .6 π x ) c o s ( 5 5 0 π t) m 若将它看成是由传播方向相反、振幅和波速相等的 两列波相干叠加而成。 （1）求振幅和波速。 （2）求相邻波节之间的距离。 （3）求t=0.003s 时位于x=0.02m处质点的振动速度。
u+ u-
up us
νs
波源与观察者背离而去时
νp =
uu+
up us
νs
光是电磁波，也有多普勒效应，当光源远离接 收器时，接收到的频率变小，因而波长变长，这 种现象叫做“红移”,反之叫“蓝移”。
解： （1） y0.03cos(1.6πx)cos(550πt)
20.015cos(2πx)cos( 2π t) 1.25 0.00364
振幅 A=0.015m, 波长 λ=1.25m, 周期 T=0.00364s
波速 uλ 1.25 343.4m /s T 0.00364
（2）相邻波节之间的距离
46.0m/s
§4.5 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射 一、惠更斯原理
1678年，荷兰物理学家惠更斯提出：介质中 波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源， 而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的 波前。
t + t
t·· · · ·
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t t+t
平面波
球面波
二、波的衍射(diffraction of waves)
§4.4 波的干涉
（2）驻波中各点的相位
y2Acos2πxcos2πt λT
振幅项 2 A co可s 2正π 可x 负,时间项
cos 2π t
对波线上所有质点有λ 相同的值，表明驻波上相T 邻波
节间质点振动相位相同，波节两边的质点的振动有
相位差p 。其波形既不左移也不右移，因此叫驻波。
y
3λ 4
λ 2