管理优化之指派问题

【定理4.1 】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 （或加上）一个常数ui（被称为该行的位势），从每一列分别减去 （或加上）一个常数vj（称为该列的位势），得到一个新的效率矩 阵[bij]，若其中bij=cij－ui－vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解。这 里cij、bij均非负。
90
丁
86
90
80
88
数学模型如下：
min Z 85 x11 92 x12 73x13 90 x14 95 x21 87 x22 78 x23 95 x24 82 x31 83x32 79 x33 90 x34 86 x41 90 x42 80 x43 88 x44
【例4.8 】已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分 配方案。
85 95 C＝ 82 86
92 87 83 90
73 78 79 80
90 95 90 88
工作 人员
A 85 95 82 86
B 92 87 83 90
C 73 78 79 80
D 90 95 90 88
【解】M＝95，令
92 87 83 90
73 78 79 80
90 95 90 88 5 0 5 7
C (95 cij )
10 3 22 0 8 17 C ＝ 13 12 16 9 5 15
用匈牙利法求解：
10 3 22 0 8 17 C ＝ 13 12 16 9 5 15 7 0 C ＝ 8 4 0 8 7 × 0 9 7 1 0
某工厂订购了3台机器(A、B、C），有4个位置可供机器安装，但B 机器不能安装在第二号位置。由于这4个安装位置离工厂中心的远 近不同，所需要的运送费用也就不同，见下表。问这些机器安装在 哪几个位置合适，可使总的运送费用达到最小。
位置 机器 A 13 10 12 11 一 二 三 四
B
C
15
5
-7
13
1 1 X＝ 1 1
最优分配
甲→C 乙→B
甲 乙 丙 丁
丙→A
丁→D
●
不平衡的指派问题
1．当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
15 20 10 9 6 5 4 7 10 13 16 17
6 2 0 0 × 11 1 3 0 1 0 0 3 6 7 0 × 0 × 15 20 10 9 6 5 4 7 10 13 16 17 0 0 0 0
管理优化之—
指派问题
1 指派问题及其数学模型
【例1 】指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗 位工作，每个岗位只能一个人。经考核四人在不同工作岗位完成的 时间如下表所示，如何安排他们的工作使总时间最少。
工作 人员 甲 A 85 B 92 C 73 D 90
乙
丙
95
82
87
83
78
79
95
【定理4.2 】 若矩阵A的元素可分成“ 0”与非“ 0”两部分，则覆盖 “ 0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“ 0”元素（称为 独立元素）的最大个数。
如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“ 0”元素，令这些零元 素对应的xij等于1，其余变量等于0，得到最优解。定理4.1告诉我们 如何将效率表中的元素转换为有零元素，定理4.2告诉我们效率表中 有多少个独立的“ 0”元素。
5 0 5 7
7 0 C ＝ 来自百度文库 4
0 8 7 0
19 17 11 10 1 0 0 0
2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0
2 × 0 0 2
0 1 最优解： X ＝ 0 0
即甲安排做第二项工作、乙做第一项、丙做第四项、丁做第三项。 总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
Min 9 4 10 0
0 0 X＝ 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
●
求最大值的指派问题
匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0 设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值 将其变换为求最小值 令
max z cij xij
i j
M max cij
x11 x12 x13 x14 1
x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
x11 x21 x31 x41 1 x12 x22 x32 x42 1 x13 x23 x33 x43 1
工作 人员
A 85 95 82 86
B 92 87 83 90
C 73 78 79 80
D 90 95 90 88
甲 乙 丙 丁
x14 x24 x34 x44 1 xij 0或1 ，i、j 1,2,3,4
●求解指派问题的方法：匈牙利算法
匈牙利算法是匈牙利数学家克尼格（ Konig ）证明了下面两个基本 定理，为计算分配问题奠定了基础。因此，基于两个定理基础上建 立起来的解分配问题的计算方法被称为匈牙利法。
10
20
6
解：1）在（B，二）处添上一个很大的数M，以排除机器B安 装在二号位置的可能。 2）在第四行虚设一行。
13 10 12 11 15 M 13 20 C＝ 5 7 10 6 0 0 0 0
13 10 12 11 15 M 13 20 C＝ 5 7 10 6 0 0 0 0
3 0 2 M 0 2 0 0
0 0 X＝ 1 0 1 0 0 0
2 0 5 0
0 1 0 0
1 7 1 0
0 0 0 1
i, j
C ( M cij )
则 与
xij min w cij
i j
max z cij xij
i j
的最优解相同。
【例4.9】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评 的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最高。
甲 85 95 乙 C＝ 丙 82 丁 86