数学建模的实验报告..

一、问题

路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。

在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？

二、数学模型

已知P1为2kw的路灯，P2为3kw的路灯，以地面为X轴，路灯P1为Y轴，建立平面直角坐标系。其中，P1、P2高度分别为h1、h2，水平距离为S=20m。设有一点Q(x，0)，P1、P2分别与其相距R1、R2。如下图示。

经查阅资料得，光照强度公式为：，设光照强度k=1。则，两个路灯在Q点的光照强度分别为：

2 11

1 1sin R

a

p

I=

2

22

2 2sin R

a

p

I=

其中：

R12=h12+x2 R22=h22+(S-x)2

则Q点的光照强度I x=I1+I2

分别按照题目中的不同要求，带入不同数值，求导，令导数为零，求得极值，进一步分析对比，求得最值。

三、算法与编程

1.当h1=5m，h2=6m时:

symptoms x y

x=0:0.1:20;

y=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3);

plot(x,y)

grid on;

在图中的0-20米范围内可得到路灯在路面照明的最亮点和最暗点

①对Ix求导：

syms x

f=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3)

②运用MATLAB求出极值点

s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^

2)^(5/2))');

s1=vpa(s,8)

s1 =

.28489970e-1

8.5383043+11.615790*i

19.976696

9.3382991

8.5383043-11.615790*i

③根据实际要求，x应为正实数，选择19.9767、9.3383、

0.02849三个数值，通过MATLAB计算出相应的I值：

syms x

I=10/(25+x^2)^(3/2)+18/(36+(20-x)^2)^(3/2);

subs(I,x,19.9767)

subs(I,x,9.3383)

subs(I,x,0.02849)

ans =

0.0845

ans =

0.0182

ans =

0.820

综上，在19.3米时有最亮点；

在9.33米时有最暗点

2.当h1=5m，3m

①对h2求偏导，并令其为0：

②运用MATLAB求出极值点

solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20

-x)^2)^(5/2))=0')

ans =

20+2^(1/2)*h

20-2^(1/2)*h

③对x求偏导，并令其为0：

④通过MATLAB，将步骤②中计算出的关于h2的表达式带入

上式，并求出h2的值；

solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)

^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^

(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')

ans =

7.4223928896768612557104509932965

⑤通过MATLAB，利用已求得的h2，计算得到x，并进一步计

算得到I

h=7.42239;

x=20-2^(1/2)*h

I=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2)) x =

9.5032

I =

0.0186

3．当h1，h2均在3m-9m之间时:

①同上，通过MATLAB求解下面的方程组：

solve('p1/(h1^2+x^2)^(3/2)-3*p1*h1^2/(h1^2+x^2)^(5/ 2)')

solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20 -x)^2)^(5/2))=0')

ans =

2^(1/2)*h1

-2^(1/2)*h1

ans =

20+2^(1/2)*h

20-2^(1/2)*h

②根据实际，选择x=h1，x=20-h2，带入第三个式中，得：

③利用MATLAB，求得x值：

s=solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');

s1=vpa(s,6)

s1 =

9.32530

7.33738+17.0093*i

7.33738-17.0093*i

④按照实际需求，选择x=9.32525

⑤带入求解I，并比较得到亮度最大的最暗点

h1=(1/sqrt(2))*9.32525

h2=(1/sqrt(2))*(20-9.32525)

h1 =

6.5939

h2 =

7.5482

四、计算结果

1.当h1=5m，h2=6m时:

x=9.33m时，为最暗点，I=0.01824393；x=19.97m时，为最亮点，I=0.08447655。

2.当h1=5m，3m