【教学案例】高中数学问题教学法教学案例——直线的斜率(1)

高中数学问题教学法教学案例

——直线的斜率（1）

一、案例背景

《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”，“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合直线的斜率的内容就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人体会。

二、案例过程

（一）、创设情境，引入课题

师：同学们骑自行车上坡时很吃力，这与坡的什么有关?

课件：

生：与坡的平缓和陡有关。

师：我们分析一下坡的平缓和陡问题。

先请同学们来观察下面两幅图片：

课件：

如图是两张不同的楼梯图。 问题1：其中的楼梯有什么不同？

生：楼梯的平缓和陡程度不同。

问题2：用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢？

（提示：观察楼梯下面两个三角形）

生：用高度和宽度的比值来反映。

师：一般地：高度和宽度的比值就叫坡度。

坡度宽度

高度

即 :

所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。 （二）、归纳探索，形成概念 1．借助模型，直观感知 课件：给出一个楼梯模型

x

楼梯上面有一条直线，直线就反映坡度。

〖设计意图〗从模型直观感知直线的斜率，完成直线的斜率的感性认识。

问题3：楼梯的倾斜程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢？

（对第三个问题，学生议论纷纷，部分学生不知道如何准确回答） 2．通过探究，形成概念

师：研究直线的倾斜程度可以借助直角坐标系。

（师生共同探究，得出直线的斜率严格的定义，板书定义 。引导学生找出定义中的关键）

QM MP

=

=

宽度高度直线的倾斜程度，这个比值就叫直线的斜率。（常用字母K 表示）

QM

MP

K =

:即 〖设计意图〗使学生体会通过实际问题如何抽象出具体的数学概念的数学过程。

（三）、掌握概念，适当延展

问题4：如何用点的坐标形式来表示斜率呢？

2，y 2)，如果 x 1≠x 2，则直线 PQ 的斜率为：

横坐标增量

纵坐标增量=

∆∆=

x y

（斜率的几何意义）

〖设计意图〗把对直线的斜率的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的更深层次的认识。

问题5：直线斜率会因为点取的不同而改变吗？

生：另取两点说明问题

2)

y ∆

1

21

2x x y y K --=

问题6：是不是所有的直线都有斜率？

（一些学生说是的，一些学生说不是的。叫了一个说不是的学生发表一下支持自己观点的理由）

生：垂直于x 轴的直线斜率不存在。

1.让学生分析、解决问题 课件：

例1．如图直线 l 1,l 2,l 3,l 4 都经过点P(2,3) ，又l 1,l 2,l 3,l 4 分

别经过点 Q 1(-2,1),Q 2(4,1),Q 3(5,3),Q 4(2,5) ,讨论l 1,l 2,l 3,l 4 斜率是否存在, 如果存在,求出直线的斜率。

（学生板演，然后由学生评价。给了学生足够的思考时间，几个学生发表了自己的看法，全班讨论、分析，达成共识）

教师强调书写格式和注意点。然后引导学生小结： 已知不垂直于x 轴的直线上任意两点就可以求出斜率。 2．分别通过代数和几何角度研究直线的斜率

例2：经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为

① 0，② 不存在， ③21 ，④32

-

解：①过(3，2)，(0，2)画一条直线即得。②过(3，2)，(3，0)画一条直线即得。 ③（法一：待定系数法）

2=-1

设直线上另一个点为（x,0），则： 所以过点(3，2)和(2，0)画直线即可 说明：也可设点为(0，y)或其它特殊点。 (法二：利用斜率的几何意义)

根据斜率公式

x y

K ∆∆=

，斜率为2表示直线上的任一点沿x 轴方向向右平移1个单位，再沿y 轴

方向向上平移2个单位后仍在此直线上 即可以把点（3，2）向右平移1个单位，得到点（4，2）， 再向上平移2个单位后得到点（4，4），因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即得。

④ 将点(3，2)向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到点(6，0)，过(3，2)和(6，0)画直线即为所求。

〖设计意图〗初步掌握代数和几何角度求直线的斜率的方法和步骤。用代数方法研究图形的几何性

质，培养学生数形结合的数学思想。

（四）、归纳小结，提高认识 教师小结：

(1) 直线的斜率:定义、斜率公式、几何意义、求法。

(2) 斜率是反映直线的倾斜程度，在同一条直线上任何不同的两点所确定的斜率相等。

(3) 直线的斜率公式的应用,体现了平面解析几何的本质是:用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

（由于时间不够，也没能由学生做课堂小结） 三、案例分析

（一）本节课的设计分析 1、教学难点的确定

过两点的直线斜率的计算公式的推导．

2、教学目标的确定

根据本课教材的特点、新课标对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个方面确定了教学目标．

（1）知识与技能：理解直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式；

掌握直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围．

（2）过程与方法：从生活实际出发，引导学生探索直线的斜率的概念，渗透数形结合的思想方法，；

通过对直线的斜率概念的研究，培养学生的主动探究知识、合作交流的意识;培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。提高学生的观测、探究、分析问题、解决问题的能力.

（3）情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维