第2讲 拟合与插值

lim S ( x ) g ( x ) g(x)为被插值函数。
n
数学建模与数学实验
例
1 f ( x) , 6 x 6 2 1 x
用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych)
To MATLAB ych(larg1)
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用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
显然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，
p1(x0)=y0，p1(x1)=y1
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我们称 l0(x) 为点 x0 的一次插值基函数，
l1(x) 为点 x1 的一次插值基函数。它们在对应 的插值点上取值为 1 ，而在另外的插值点上 取值为 0 。插值函数 p1(x) 是这两个插值基函 数的线性组合，其组合系数就是对应点上的 函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日 （Lagrange）插值。
“样条”这个词原是指在飞机或轮船设计过程中为了描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具：一 个具有弹性的细长木条。 事实上，在作了某些近似简化后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次多项式曲线： 在相邻两块压铁之间是三次多项式曲线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。
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三次样条插值
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1.n=1
已 知 函 数 y=f(x) 在 点 x0,x1 上 的 值 为 y0,y1 ， 要 求 多 项 式 y=p1(x) ，使 p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 。其几何意义，就是通过两点 A(x0,y0),B(x1,y1)的一条直线，如图所示。 •
• 通过A，B的直线方程为
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
1 2 3 4 5 6 7 P ( c ) a a c a c a c a c a c a c a c 7 0 1 2 3 4 5 6 7
见 a7（larg1).m 从图中可以看出插值的曲线非常光滑，与数据吻合较好， 体现了高阶多项式的优越性
［例3］ 给定
1 f ( x) 1 x 2
j 0 n
xj-1 xj xj+1 xn x
x0
计算量与n无关; n越大，误差越小.
x x j 1 , x j 1 x x j x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 x x j 1 j 0, 其它
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2.n=2
• 线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。 • • p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 p2(x) 是 x 的二次函数，称为二次插值多项式。
通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
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例
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
维
插
值
拉格wk.baidu.com日插值
分段线性插值
三次样条插值 三、用Matlab解插值问题
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插值方法
插值法是一种古老的数学方法。拉格朗日（Lagrange）、 牛顿（Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了不同的解决方 法。
拉格朗日（Lagrange）插值公式( Lagrange 插 值公式)的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基 函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
To Matlab lch(larg1)
拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象
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分段线性插值
为了避免Runge现象的发生, 可把区间［-5, 5］等分为10个小 y 区间, 在每一个小区间内应用低次插值。

o
Ln ( x ) y j l j ( x )
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插值和拟合
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实验目的
1、直观了解插值和拟合基本内容。
2、掌握用数学软件求解插值和拟合问题。
实验内容
1、一维插值拟合问题引例及基本理论。 2、用数学软件求解插值和拟合问题。 3、应用实例 4、实验作业。
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一 一、插值的定义 二、插值的方法
0.4, 0.8
1 从而可得 E（f ;0.6) (0.0004 )(234.4) 0.00391 24
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• 综合上述, ln(0.6)=-0.510826，
近似值：p3(0.6)=-0.509975，
真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ， 估计的上界：|ln(0.6)-p3(0.6)| <0.00391
y1 y0 x x0 p1 ( x) y y0 x1 x0
• 变形为: p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1
l0 ( x ) x x0 x x1 , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
P 1 x
x x1 x x0 y0 y1 x0 x1 x1 x0
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
注意：所有的插值 方法都要求x是单调 的，并且xi不能够超 过x的范围。
‘nearest’ ：最邻近插值‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 shape-preserving piecewise cubic interpolation 缺省时： 分段线性插值。
E ( f ; x) f ( x) pn ( x)
( x)
(n 1)!
f
( n 1)
( )
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。 E称为插值余项
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［例1］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出真值表，试近似计 算ln(0.6)的值，并指出精度。
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［例2］带式录音机的播放时间。令Ci为计数器读数，Ti （秒）为对应的播放时间总数。 Ci Ti 100 200 300 400 500 600 700 800 205 430 677 945 1233 1542 1872 2224
有8个数据点，应期望一个最高阶为7的唯一多项式：
n
其中Li(x) 为n次多项式：
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) L i (x) ( x i x 0 )( x i x 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
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3.一般情况
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
Pn ( x ) L i ( x ) y i
i 0
称为拉格朗日插值基函数。
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• 定理1 有惟一的n次多项式pn(x)，满足条件： pn(xi)=yi
• 定理2
(i=0,1,…,n)
（1.3）
若f(x)在包含着插值节点 x0,x1,…,xn的区
间［a,b］上n+1次可微分, 则对任意x,x∈［a,b］, 有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
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(x∈［-5,5］)。取等距节点
xi=-5+i (i=0,1,…,10), 试建立插值多项式L10(x), 并作图形, 观察
L10(x)对f(x)的逼近效果。
10
解：L10 ( x )
f ( x )l ( x )
i i i 0
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x x10 ) li ( x ) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi x10 )
4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14)
To MATLAB xch11，xch12， xch13，xch14 结点的一阶导数不存在，光滑性不高
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三次样条插值
比分段线性插值更光滑。
y






a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存 在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项 式达到较高阶光滑性的方法？——三次样条插值
x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 P2 x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
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例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31， 30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度 值。
hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); (直接输出数据将是很多的) plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') %作图 xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’) To MATLAB (temp)
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
真值表 x 0.4 0.5 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.356675 -0.223144
解：利用3次Lagrange 插值公式, 简单计算过程如下：
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1 1 l0 ( x ) ( x 0.5)(x 0.7)(x 0.8), l0 (0.6) 0.012 6 1 2 l1 ( x) ( x 0.4)(x 0.7)(x 0.8), l1 (0.6) 0.006 3 1 2 l2 ( x ) ( x 0.4)(x 0.5)(x 0.8), l2 (0.6) 0.006 3 1 1 l3 ( x) ( x 0.4)(x 0.5)(x 0.7), l3 (0.6) 0.012 6 1 2 2 1 ln(0.6) ln(0.4) ln(0.5) ln(0.7) ln(0.8) 0.509975 6 3 3 6 又因为f ( 4 ) 6 / x 4 , 所以 max f ( 4) ( x) 6 /(0.4) 4 234.4。
lim Ln ( x) g ( x), x0 x xn
n
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例
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.
1 f ( x) , 6 x 6 2 1 x
1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13)