数字信号处理程佩青第三版课件第四章快速傅里叶变换FF

N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。 将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1(r) x2 (r)
x(2r) x(2r
，r 1)
0，1，2，...N/
2
1
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将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT
X
(k)
DFT
x(n)
N 1
n0
x(n)WNkn
Nr/20 1 x(2r)WN2rk Nr/201 x(2r 1)WN(2r1)k
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再利用周期性求X(k)的后半部分
W W r ( N / 2k )
rk
N /2
N /2
X
1
N 2
k
N / 21
x1
(r
)WNr
( /
N 2
/
2k
)
r 0
N / 21
x1(r)WNrk/ 2
r 0
X1(k)
X
2
N 2
k
X 2 (k )
又WNk
N 2
WNN / 2WNk
WNk
X X
(k) (N
2
X1 k)
(k) WNk
X1(
N 2
X 2 (k)，k 0,1,2,...N
k
)
WN(
NHale Waihona Puke Baidu
/
2
k
)
X
2
(
N 2
/
2 k
1 )
(2)
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X1(k) WNk X 2 (k)，k 0,1,2,... N / 2 1 11
X
X (k
(k) N)
2
x(n) FFT
IFFT y(n)
h(n) FFT
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§4.2 直接计算DFT的问题及改进途径
1、 DFT与IDFT
N点有限长序列x(n)
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
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2、DFT与IDFT运算特点
n为偶
n为奇
N / 21
N / 21
x1 (r )
W rk N /2
WNk
x2 (r)WNrk/ 2
r0
r0
X1 (k )
X 2 (k )
（这一步利用： WN2rk WNrk/ 2 ） r, k 0,1,...N / 2 1
记： X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
………（1）
X 2 (3)
X (0) X (1) X (2) X (3)
X (4) X (5) X (6) X (7)
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分解后的运算量：
复数乘法
复数加法
一个N/2点DFT (N/2)2
N/2 (N/2 –1)
两个N/2点DFT N2/2
N (N/2 –1)
一个蝶形
1
2
N/2个蝶形
N/2
N
总计
N 2 / 2 N / 2 N N / 2 1 N
X1(k ) WNk X 2 (k ) X1(k ) WNk X 2 (k )
k
0,1,...,
N
/
2
1
将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。
X1(k)
X1(k) WNk X2(k)
X 2 (k) WNk
X1(k) WNk X 2(k)
注：a. 上支路为加法，下支路为减法；
b. 乘法运算的支路标箭头和系数。
X1(k
N 4
)
X3(k)
WNk/ 2 X 4 (k )
k 0,1,..., N 1 4
N2/2
N2/2
运算量减少了近一半
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进一步分解
由于 N 2M ，N 2M 1 仍为偶数，因此，两个
2
DFT又可同样进一步分解为4个
N
点的DFT。
N 2
点
4
x1(2l) x1(2l 1)
x3 (l ) x4 (l
)
l 0,1,..., N / 4 1
X1(k ) X 3(k ) WNk/2 X 4 (k )
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用“蝶形结”表示上面运算的分解：
N 8 23
x(0) x(2) x(4) x(6)
x(1) x(3) x(5) x(7)
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X 1 (0)
N
X 1 (1)
2
点
X 1 (2)
DFT X1(3)
N 2 点
DFT
X 2 (0) X 2 (1)
WN0 WN1 WN2
X 2 (2) WN3
FFT算法分类:
时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time
频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency
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§4.3 按时间抽取（DIT）的FFT算法
（Decimation In Time）
1、算法原理
设序列点数 N = 2L，L 为整数。 若不满足，则补零
可约性
WNnk
W mnk mN
WNnk
W nk N/
/m m
j 2 mnk
e mN
j 2 N
e N2
e j
1
特殊点： W 1 0
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N
W N/2 N
1
W (kN /2) N
W7Nk
FFT 算法的基本思想： 利用DFT系数的特性，合并DFT 运算中的某些项， 把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。
FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号 处理等。
DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz时 钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
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典型应用：信号频谱计算、系统分析等
频谱分析与功率谱计算
x(n) DFT X (k )
系统分析
x(n) h(n) y(n)
N 1
x(n)WNnk
n0
一个X(k) N个X(k) (N点DFT)
复数乘法 复数加法
N
N–1
N 2 N (N – 1)
a jbc jd ac bd j ad cb
实数乘法 实数加法
一次复乘 4
2
一次复加
2
一个X (k) 4N
2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1)
N个X (k) 4N 2
第四章 快速傅里叶变换
（FFT）
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主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-FFT算法 线性卷积的FFT算法
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§4.1 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley-Turky 发表文章《机器计算傅里 叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决DFT 运算量太大，在实际使用中受限制的问题。
2N (2N – 1)
2021/(3/1N点DFT)
同理：IDFT运算量与DFT相同。 6
3、降低DFT运算量的考虑
WNnk的特性
WNnk
j 2 nk
e N
对称性
周期性
(WNnk )* WNnk WN( N n)k WNn( N k )
WNNk WNnk
WNnN WNnk
WNnk WN( N n)k WNn( N k )