a3__金融风险的度量__久期、凸性及久期缺口模型

T
Ct
t1 (1 y )2t
2
2
2
2
2
2
2
2
金融风险管理
赵建群
P( y)' 1 1 C0.5 2 1 C1 3 1 C1.5 4 1 C2
2 (1 y )2
2 (1 y )3
2 (1 y )4
2 (1 y )5
2
2
2
2
(2T 1) 1 CT 0.5 2T 1 CT
2 (1 y )2T
将
dP D • Pdy 1 y
变形得 D dP dy P 1 y
或者取其离散形式 D P y
P 1 y
（之所以采用 ≈ ，是因为 dP 的推导采取的是Taylor一阶近似，当 利率的变化比较大时，取一阶近似是不对的）
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考察 D dP dy
P 1 y
或者
D P y P 1 y
T Ct
t1 (1 y)t
对时间 t 的加权和
为权
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或者，可以认为 久期是项目或资产的平均回收期
（基于现金流现值的加权）
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考察
Ct (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
表示 当期现金流的折现值/总现金流折现值
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3、久期的经济学解释
4
y)
5
T
CT (1 y)T 1
T
t 1
tCt ((1 y)t1
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dP
P' ( y)
•
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
•
dy
T t 1
tCt (1 y)t
•
dy (1 y)
T
P
Ct
t1 (1 y)t
T t 1
tCt (1 y)t
T t 1
tCt (1 y)t
P
•
金融风险的度量
——久期、凸性及久期缺口模型
一、久期的概念与推导
1、直观理解 四项投资的现金流（入）如下
t
A
B
C
Biblioteka Baidu
D
1 100
100 100
200
2 100 3 100 4 100 5 6 200
100 100
50
100 100
30
100 100
150
100 200
70
100
金融风险管理
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问题： 如何比较四项投资的风险？
金融风险管理
赵建群
t
A
B
C
D
1 100
100 100
200
2 100
100
40
50
3 100 4 100 5 6 200
100 100
30
100 180
150
100 120
70
100
90
总量相同 分量不同
金融风险管理
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t
A
B
C
D
1 100
100 100
200
2 100
100
40
50
3 100 4 100 5 6 200
P (1
•
dy y)
T
t 1
Ct (1 y)t
•
P • dy (1 y)
D • Pdy 1 y
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其中
T tCt
D t1 (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
称为久期
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考察
T tCt
D t1 (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
是一个以
Ct (1 y)t
2 (1 y )2T 1
2
2
T
1 2
2t
Ct
t1 (1 y )2t1
2
2
金融风险管理
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T
dP P' ( y) • dy
tCt
T
• dy
降低1%×5=5% 因此债券的市场价格将降为120×(1-5%)=144元
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5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次
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P
C0.5 1 y
C1 (1 y )2
C1.5 (1 y )3
C2 (1 y )4
CT 0.5 CT (1 y )2T 1 (1 y )2T
金融风险管理
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在贴现率发生较小变化的情况下，根据Taylor展开式， 可得
dP P' ( y) • dy
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P
C1 1 y
C2 (1 y)2
C3 (1 y)3
C4 (1 y)4
CT (1 y)T
P( y)'
C1 (1 y)2
2
(1
C
2
y)
3
3
(1
C3 y)
4
4
(1
C
发现：
久期反映了债券价格对市场利率或贴现率变化的敏感程 度
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例1：
假定某债券的久期为5年，当市场利率为8%时，该债 券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%，该债 券的市场价格将发生怎样的变化？
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考察久期公式
D P y P 1 y
当市场利率变化由8%升为9%时，贴现因子（1+y） 的变化比率为(9%-8%)/(1+8%) =0.92593%
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于是有
Ct F i
CT F (1 i)
P
T t 1
Ct (1 y)t
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或者 公允价值核算的直观表达：
P
C1 1 y
C2 (1 y)2
C3 (1 y)3
C4 (1 y)4
CT (1 y)T
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问题：
市场利率的变化对债券价格 P 有怎样的影响？
100 100
30
100 180
150
100 120
70
100
90
时间跨度相同 各期流量不同
金融风险管理
赵建群
t
A
B
C
D
1 100
100 100
200
2 100
100
40
50
3 100 4 100 5 6 200
100 100
30
100 180
150
100 120
70
100
90
时间跨度不同 各期流量不同
所以 该债券的市场价格将 下降
0.92593%×5=4.62963% 即下降为120×(1-0.462963%)=114.44444元
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4、修正久期 定义修正久期：
D* 1 dP P dy
——反映收益率曲线 y 平移一单位引起债券价格变化
的百分比
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比较 D dP dy P 1 y
D* 1 dP P dy
显然
D D* (1 y)
dP D*dy P
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例2
假定某债券的修正久期为5年，当市场利率为8%时， 该债券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%， 该债券的市场价格将发生怎样的变化？
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考察 dP D*dy P
有： 市场利率绝对上升量为1%，因此债券的市场价格将
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思路： 设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？ 同时体现出对风险因子的敏感性程度？
——久期
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2、久期的推导Ⅰ：利息支付采取一年一次方式 假定某息票债券的基本信息如下：
面值 F 息票率 i 到期日 T
t 第 期末的现金流 Ct
贴现率（即市场基准利率） y