第8章 静电场部例题
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o a
o
用补偿法求解
挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整 的、电荷体密度为ρ的均匀带电球状和一个电荷体密 度为- ρ、球心在Oˊ的带小球体（半径等于空腔球 体的半径）。大小球体在空腔内P点产生的电场强度 分别为 ，则P点的电场强度 E1 、 E 2 E E E
E3
电场强度方向均沿径矢方向
第八章
静电场例题
E
各区域的电场强度分布曲线 如图所示 在带电球面的两侧，电场 强度的左右极限不同，电场强 度不连续，而在紧贴r=R3带 电球面，电场强度的跃变量
根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐 标分别为（0,2R/π）和（0，-2R/ π）。
Q l P 4R
也可借助几何中心的定义，得
x 1
R
1
/2
/2
R sin Rd 0
R cos Rd 2R
2R
R / 2 即正、负电荷中心分别在y轴上距中心O为
由教材中第8-4节例4可知，在带电平面附近 E1 en 2 0
x
en
en
第八章
静电场例题
8-17如图所示，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中， 存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向空腔球心 Oˊ的矢量用 a 表示，试证明球形空腔中任一点的电 场强度为：
E 3 0 a
o
r r
R
0 当 0 r R 时： 1 r k 4 2 2 E 4 r kr 4 r dr r
kr E er 4 0
2
1 E dS
第八章
静电场例题
dV
o
r r
R
0
0
0
当
r R
2
时：
1
E 4 r
4 kR E er 2 4 0 r
1 2
第八章
静电场例题
r1
r2 o
均匀带电球体内部一点的电场强 度，由高斯定理可得：
o o 3 1 4 r 2 E 4 r , o 3
E ds
q
1
r
4 r dr
2
o a
o
r1 ; E2 r2 所以： E 1 3 0 3 0 E E1 E 2 ( r1 r2 ) 3 0 a 利用几何关系 r1 r2 a ，上式可改写为 E 3 0
0
R
kr 4 r dr
2
k 0
R
4
0
第八章
静电场例题
8-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平 板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平 板相距为x的一点P的电场强度。
用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常 特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这 样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电 平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成， 挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和 一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这 样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独 立在该处激发的电场的矢量和。
y
/2
处。
第八章
静电场例题
8-13边长为a 的立方体如图所示,其表面分别平等于xy、 yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立 方体置于电场强度 E ( E 1 kx ) i 的非均匀电场 E2 j 中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场 y 强度通量。
第八章
静电场例题
y A F
O
考虑到面CDEO与面ABGF的外法 线方向相反，且该两面的电场分布 相同，故有：
CDEO ABGF E 2 a
2
B
G
C
x
同理有：
AOEF
E
z
D
2
BCDG
E d S [ E 1 i E 2 j ] ( ds i ) Ea E d S [( E 1 ka ) i E 2 j ] ( ds i )
E E x i dE cos i 积分得 E i 2 0
dy
y
o
z
dE
P
y
dE
x
dE
x
2
0
xdy x y
2 2
i
电场强度E的方向为带电平板外法线方向.
第八章
静电场例题
8-11如图8-11所示,电荷 Q 分别均匀分布在两个半径 为R的半细圆环上，求：（1）带电圆环偶极矩的大 小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。 y （1）将圆环沿y轴方向分割为一组 相互平行的元电偶极子，每一元电 Q Q 偶极子带电 dq ds d
电场强度的方向沿x轴正方向
(2) 电荷元 dq=Qdx/L在P点 的电场强度大小为:
dE 1 4
0
y
dE
P
r
dq 2 r
r
dx
O
x
x
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L
E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零
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静电场例题
故,点P的电场强度大小为:
E Ey
E 方向沿y轴的正方向
r r x
2 2
dE
dE 1 4
0
dx
P
dE
x
O
x
r
dq (r x)
2
方向沿X轴正方向
第八章
静电场例题
因带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,则:
E
L/2
1 4
2
0
Qdx L (r x)
2
2
L/2
Q
4 0 L r L / 2
[
1
1 r L/2
]
1
Q
0
4r L
E
dr
r
z
P
x
dE
o
dE
0
(r x ) 0 2 xrdr i i 2 2 3/2 4 0 ( r x ) 2 0
2 2 3/2
4
1
xdq
i
电场强度E的方向为带电平板外法线方向.
第八章
静电场例题
y
如图所示,取无限长带电细 线为微元,各微元在点P激 发的电场强度dE在oxy平 面内且对x轴对称,因此,电 场在y轴和z轴方向上的分 量之和,即Ey、Ex均为零， 则点P的电场强度应为：
A B
G
由题意知E与oxy面平行，所 以对任何与oxy面平行的立方 体表面，电场强度通量为零， 即 OABC DEFG 0 ，而
ABGF
F
O
C
x
E
z
D
E dS
2 [( E 1 kx ) i E 2 j ] ( ds j ) E 2 a
R3
因电荷呈球对称分布，电场强度 也为球对称分布，取半径为r的同 心球面为高斯面，由高斯定理得： 2 E d s E 4 r q / 0
当r<R1时，该高斯面内无电荷， q 0 故
R2
R1
E1 0
第八章
静电场例题
q Q 1 ( r R1 )
3 3
求点P的电场强度可采用两种方法处理.将无限大 平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细 长线元组成,它们的电荷分别为:
dq 2 rdr 或 d dy
求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后,再叠 加积分,即可求得点P的电场强度了.
第八章
静电场例题
y
如图所示,在带电板上取 同心细圆环为微元,由于 带电平面上同心圆环在点 P激发的电场强度dE的方 向均相同,因而P处的电场 强度为
R
ds
o
L
R
2Q d P 2 R cos dq j R cos d j
x
则带电圆环的电偶极矩为： P
/2
4Q dP Rj
/2
第八章
静电场例题
（2）等效正负电荷中心间距为
2 2 L
2 0 r
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同
第八章
静电场例题
8-7 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度 为σ,求球心处电场强度的大小. 将半球壳分割为一组平行的细 圆环,从教材第8-3节的例1可以 看出,所有细圆环在轴线上O处 的电场强度方向都相同,将所有 的带电圆环的电场强度积分,即 可求得球心O处的电场强度.
E r 3 0
第八章
静电场例题
8-19一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆 柱体单位长度的电荷为λ，用高斯定理求圆柱体内距轴 R 线距离为r处的电场强度。 因电荷具有轴对称分布，电场 强度也为轴对称分布，且沿径 矢方向。取同轴圆柱面为高斯 面，由高斯定理得：
r
L
解得
E d s E 2 rL
( E 1 ka ) a
2
整个立方体表面的电场强度通量为：
ka
3
第八章
静电场例题
8-15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电 荷体密度为： kr 0r R
0
r R
K为一常量，试高斯定理求电场强度E与r的函数关 系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？） 取与带电球体同心的球面为高斯 面，因电荷分布和电场分布为球 对称 ，球面上各点电场强度的大 小为常量，且方向垂直于球面。 由高斯定理：
第八章
静电场例题
第八章
静电场例题
8-5 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证: (1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为
E 1 Q
0
4r
2
L
2
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r的电场强度为
E 1 2 0 r 4r Q
2
L
2
L (1)在带电棒上取一线元dx,其 电荷为 dq=Qdx/L,它在P点 的电场强度大小为:
d
o
R
x
将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环 所带电荷元为: dq ds 2 R 2 sin d 在点O激发的电场强度为:
第八章
静电场例题
dE
1 4
2 0
xdq (x r )
2 3/2
i
由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同,利 用几何关系 x R cos , r R sin 统一积分变量,有 1 xdq dE 2 2 3/2 4 0 ( x r )
L
y
sin dE
L
sin dq 4 0 r
2
L
因为 sin r / r ,
E
统一积分变量,则
1 Q L 4r
2 2
L/2
rQdx 4 0 ( x r )
2 2 3/2
L/2
2 0 r
当棒长 L 时,P点的电场强度为
E lim 1 2 0 r Q/L 1 4r / L
第八章
静电场例题
r e n 为沿平面外法线的单位矢量; x 圆盘激发的电场为: x E2 (1 )en 2 2 2 0 x r x 它们的合电场强度为: E E 1 E 2 2 0 x 2 r 2 在圆孔中心处x=0,则: E 0 1 en 距离圆孔较远处x>>r则: E 2 0 1 r 2 / x 2 2 0
2
q
因为 / R
E
所以
2
r
2 0 R
q
0
r L
2
r L
2
R
2
第八章
静电场例题
8-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总 电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球 面，球面带电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否是 场点与球心的距离r的连续函数？试分析。
1 4
0
R cos R
3
2 R sin d
2
2 0
sin cos d
积分得: E
/2
2 0
sin cos d
4 0
0
第八章
静电场例题
8-8用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板 外一点的电场强度大小为 E / 2 0 (提示:把无限 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然 后进行积分叠加)
当R1<r<R2 时，高斯面内电荷
E2 Q 1 ( r R1 )
3 3
R R
3 2
3 1
故
4 0 ( R 2 R 1 ) r
3 3
2
当R2<r<R3 时，高斯面内电荷为Q1 ，故
E3 Q1 4 0 r Q1 4 0 r
2 2
当r>R3 时，高斯面内电荷为Q1 + Q2 ，故
o
用补偿法求解
挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整 的、电荷体密度为ρ的均匀带电球状和一个电荷体密 度为- ρ、球心在Oˊ的带小球体（半径等于空腔球 体的半径）。大小球体在空腔内P点产生的电场强度 分别为 ，则P点的电场强度 E1 、 E 2 E E E
E3
电场强度方向均沿径矢方向
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静电场例题
E
各区域的电场强度分布曲线 如图所示 在带电球面的两侧，电场 强度的左右极限不同，电场强 度不连续，而在紧贴r=R3带 电球面，电场强度的跃变量
根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐 标分别为（0,2R/π）和（0，-2R/ π）。
Q l P 4R
也可借助几何中心的定义，得
x 1
R
1
/2
/2
R sin Rd 0
R cos Rd 2R
2R
R / 2 即正、负电荷中心分别在y轴上距中心O为
由教材中第8-4节例4可知，在带电平面附近 E1 en 2 0
x
en
en
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静电场例题
8-17如图所示，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中， 存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向空腔球心 Oˊ的矢量用 a 表示，试证明球形空腔中任一点的电 场强度为：
E 3 0 a
o
r r
R
0 当 0 r R 时： 1 r k 4 2 2 E 4 r kr 4 r dr r
kr E er 4 0
2
1 E dS
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静电场例题
dV
o
r r
R
0
0
0
当
r R
2
时：
1
E 4 r
4 kR E er 2 4 0 r
1 2
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静电场例题
r1
r2 o
均匀带电球体内部一点的电场强 度，由高斯定理可得：
o o 3 1 4 r 2 E 4 r , o 3
E ds
q
1
r
4 r dr
2
o a
o
r1 ; E2 r2 所以： E 1 3 0 3 0 E E1 E 2 ( r1 r2 ) 3 0 a 利用几何关系 r1 r2 a ，上式可改写为 E 3 0
0
R
kr 4 r dr
2
k 0
R
4
0
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静电场例题
8-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平 板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平 板相距为x的一点P的电场强度。
用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常 特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这 样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电 平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成， 挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和 一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这 样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独 立在该处激发的电场的矢量和。
y
/2
处。
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静电场例题
8-13边长为a 的立方体如图所示,其表面分别平等于xy、 yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立 方体置于电场强度 E ( E 1 kx ) i 的非均匀电场 E2 j 中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场 y 强度通量。
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静电场例题
y A F
O
考虑到面CDEO与面ABGF的外法 线方向相反，且该两面的电场分布 相同，故有：
CDEO ABGF E 2 a
2
B
G
C
x
同理有：
AOEF
E
z
D
2
BCDG
E d S [ E 1 i E 2 j ] ( ds i ) Ea E d S [( E 1 ka ) i E 2 j ] ( ds i )
E E x i dE cos i 积分得 E i 2 0
dy
y
o
z
dE
P
y
dE
x
dE
x
2
0
xdy x y
2 2
i
电场强度E的方向为带电平板外法线方向.
第八章
静电场例题
8-11如图8-11所示,电荷 Q 分别均匀分布在两个半径 为R的半细圆环上，求：（1）带电圆环偶极矩的大 小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。 y （1）将圆环沿y轴方向分割为一组 相互平行的元电偶极子，每一元电 Q Q 偶极子带电 dq ds d
电场强度的方向沿x轴正方向
(2) 电荷元 dq=Qdx/L在P点 的电场强度大小为:
dE 1 4
0
y
dE
P
r
dq 2 r
r
dx
O
x
x
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L
E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零
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静电场例题
故,点P的电场强度大小为:
E Ey
E 方向沿y轴的正方向
r r x
2 2
dE
dE 1 4
0
dx
P
dE
x
O
x
r
dq (r x)
2
方向沿X轴正方向
第八章
静电场例题
因带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,则:
E
L/2
1 4
2
0
Qdx L (r x)
2
2
L/2
Q
4 0 L r L / 2
[
1
1 r L/2
]
1
Q
0
4r L
E
dr
r
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P
x
dE
o
dE
0
(r x ) 0 2 xrdr i i 2 2 3/2 4 0 ( r x ) 2 0
2 2 3/2
4
1
xdq
i
电场强度E的方向为带电平板外法线方向.
第八章
静电场例题
y
如图所示,取无限长带电细 线为微元,各微元在点P激 发的电场强度dE在oxy平 面内且对x轴对称,因此,电 场在y轴和z轴方向上的分 量之和,即Ey、Ex均为零， 则点P的电场强度应为：
A B
G
由题意知E与oxy面平行，所 以对任何与oxy面平行的立方 体表面，电场强度通量为零， 即 OABC DEFG 0 ，而
ABGF
F
O
C
x
E
z
D
E dS
2 [( E 1 kx ) i E 2 j ] ( ds j ) E 2 a
R3
因电荷呈球对称分布，电场强度 也为球对称分布，取半径为r的同 心球面为高斯面，由高斯定理得： 2 E d s E 4 r q / 0
当r<R1时，该高斯面内无电荷， q 0 故
R2
R1
E1 0
第八章
静电场例题
q Q 1 ( r R1 )
3 3
求点P的电场强度可采用两种方法处理.将无限大 平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细 长线元组成,它们的电荷分别为:
dq 2 rdr 或 d dy
求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后,再叠 加积分,即可求得点P的电场强度了.
第八章
静电场例题
y
如图所示,在带电板上取 同心细圆环为微元,由于 带电平面上同心圆环在点 P激发的电场强度dE的方 向均相同,因而P处的电场 强度为
R
ds
o
L
R
2Q d P 2 R cos dq j R cos d j
x
则带电圆环的电偶极矩为： P
/2
4Q dP Rj
/2
第八章
静电场例题
（2）等效正负电荷中心间距为
2 2 L
2 0 r
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同
第八章
静电场例题
8-7 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度 为σ,求球心处电场强度的大小. 将半球壳分割为一组平行的细 圆环,从教材第8-3节的例1可以 看出,所有细圆环在轴线上O处 的电场强度方向都相同,将所有 的带电圆环的电场强度积分,即 可求得球心O处的电场强度.
E r 3 0
第八章
静电场例题
8-19一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆 柱体单位长度的电荷为λ，用高斯定理求圆柱体内距轴 R 线距离为r处的电场强度。 因电荷具有轴对称分布，电场 强度也为轴对称分布，且沿径 矢方向。取同轴圆柱面为高斯 面，由高斯定理得：
r
L
解得
E d s E 2 rL
( E 1 ka ) a
2
整个立方体表面的电场强度通量为：
ka
3
第八章
静电场例题
8-15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电 荷体密度为： kr 0r R
0
r R
K为一常量，试高斯定理求电场强度E与r的函数关 系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？） 取与带电球体同心的球面为高斯 面，因电荷分布和电场分布为球 对称 ，球面上各点电场强度的大 小为常量，且方向垂直于球面。 由高斯定理：
第八章
静电场例题
第八章
静电场例题
8-5 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证: (1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为
E 1 Q
0
4r
2
L
2
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r的电场强度为
E 1 2 0 r 4r Q
2
L
2
L (1)在带电棒上取一线元dx,其 电荷为 dq=Qdx/L,它在P点 的电场强度大小为:
d
o
R
x
将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环 所带电荷元为: dq ds 2 R 2 sin d 在点O激发的电场强度为:
第八章
静电场例题
dE
1 4
2 0
xdq (x r )
2 3/2
i
由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同,利 用几何关系 x R cos , r R sin 统一积分变量,有 1 xdq dE 2 2 3/2 4 0 ( x r )
L
y
sin dE
L
sin dq 4 0 r
2
L
因为 sin r / r ,
E
统一积分变量,则
1 Q L 4r
2 2
L/2
rQdx 4 0 ( x r )
2 2 3/2
L/2
2 0 r
当棒长 L 时,P点的电场强度为
E lim 1 2 0 r Q/L 1 4r / L
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静电场例题
r e n 为沿平面外法线的单位矢量; x 圆盘激发的电场为: x E2 (1 )en 2 2 2 0 x r x 它们的合电场强度为: E E 1 E 2 2 0 x 2 r 2 在圆孔中心处x=0,则: E 0 1 en 距离圆孔较远处x>>r则: E 2 0 1 r 2 / x 2 2 0
2
q
因为 / R
E
所以
2
r
2 0 R
q
0
r L
2
r L
2
R
2
第八章
静电场例题
8-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总 电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球 面，球面带电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否是 场点与球心的距离r的连续函数？试分析。
1 4
0
R cos R
3
2 R sin d
2
2 0
sin cos d
积分得: E
/2
2 0
sin cos d
4 0
0
第八章
静电场例题
8-8用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板 外一点的电场强度大小为 E / 2 0 (提示:把无限 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然 后进行积分叠加)
当R1<r<R2 时，高斯面内电荷
E2 Q 1 ( r R1 )
3 3
R R
3 2
3 1
故
4 0 ( R 2 R 1 ) r
3 3
2
当R2<r<R3 时，高斯面内电荷为Q1 ，故
E3 Q1 4 0 r Q1 4 0 r
2 2
当r>R3 时，高斯面内电荷为Q1 + Q2 ，故